中小学数学教材的缺陷及其他

假期里我给十一岁的表妹辅导数学,她刚学了负数,开始做与负数有关的运算时,老是容易把负数前面的负号丢掉。她觉得负数非常麻烦,我非常坦率地告诉她,不是负数麻烦,而是因为她受了现行的小学数学教材的“毒害”。

现在的数学教材,都是先讲正数的运算,过了很久才开始讲负数。而在学生学习负数之前,为了避免运算中出现负数,又不得不做出“被减数不能小于减数”这样的人为规定,徒然增加学生的记忆负担。其实从代数的观点看,正数和负数的运算法则完全一致,它们原该放在一起讲才对。

与负数相比,无理数这个概念的引入就更慢了,那要到初中以后。而且初中教材里对无理数概念的定义也粗糙得很。至于虚数,学习它要到大学以后。

我敢说,很多人虽然学了那么多年数学,对“数系如何构成”这样一个问题,依然是稀里糊涂的。自然,他们更不会明白数系为什么会这样扩充。

不只是负数,我表妹(以及很多即将升入初中的小学生)还将面临的一项挑战是,从具体的数到代数的思维转变。按我的观点,一开始就应该讲代数,而不是具体的整数加减运算。因为代数更加的本质和抽象,具体的数不过是种表现。而小学教材对代数是一点也没有涉及的,以至于很多可以用一两个代数表达式就说清楚的问题,却啰嗦地写了一大堆文字。

学了这么多年数学后,我回顾往昔,觉得自己大学以前的数学学习似乎走了弯路。但直到最近重看小学和初中的数学教材,问题才越发的凸显。比如,初中代数教材讲完因式分解后,又有一章讲二次根式。我对我表妹说:“这一章你不用看了。反正你知道根号和开方就行了。”

为什么?因为二次根式没有什么特别的,它只是幂函数当指数为1/2时的结果。学了幂函数的性质后,二次根式自然就懂了。根本没有必要花一章的时间来学习。

不该重点讲的内容给它安排了一章,应该重点讲的东西教材又没有讲透。比如初三教材里有一章是《函数》,首先,对于函数这么基础且重要的概念,对它的学习不该这么靠后;其次,像函数这样一个有深刻内涵的东西,教材对它的介绍只能用浮光掠影来形容。我考虑给表妹教授这一章时,只能找本大学教材的函数部分来代替了。但这想法还没有得以实践,因为假期已经结束了。

我还可以给中小学数学教材提出些别的意见,比如讲授数论知识的部分太少(几乎没有),讲欧式几何的部分又太多;以数理逻辑为代表的离散数学可以讲点,但教材对此完全没有涉及;初三教材的最后讲了一点统计学,但这章内容和前面内容完全是割裂的,显得十分莫名其妙。

总之,我对中小学数学教材的评价是:零敲碎打,不成体系。可叹我当年懵懵懂懂,不知道手里的数学教材有这么多毛病,徒然浪费了很多时间。

那么,为什么中小学的数学教材会编成这个样子?我想最重要的一个原因是,教材的目的并不是培养一流的数学人才,而是向普通大众传播一些必要的数学知识。编者是想让最差的学生也能学懂,而不是想让最好的学生也能充分提高。

正是基于这样的初衷,才会在整整的小学六年里都讲数的加减乘除,这样至少学生出去买卖东西,知道计算价钱了;中学在学点代数和几何,这样即使学生辍学了,也基本可以应付普通工作和日常生活中的绝大多数数学问题。

如果这样看,这套数学教材的内容安排也不可厚非。但问题在于,这样的一种数学教育很难让有数学天赋的孩子得到充分发展。

我发现,不只是数学,几乎现在所有的中小学教育,都不重视培养精英。老师上课时为了照顾普通学生的理解力,往往把同一个问题翻来覆去讲好几遍。家长会让孩子去补习学得差的科目,对孩子学得好的科目却很少关心,更不会考虑如何让孩子的天赋得到充分发挥。

如果我这里提一个简单的问题:“如果你的孩子在某方面很有天赋,你知道该怎么培养吗?”有多少人可以自信地做出回答?在人们的印象里,似乎天才都是黄山上的迎客松,不需要照料,自己就可以在艰苦的环境下成长起来。但这是错误的,天赋如果不经过好好打磨,最后也会失去它的光芒。这个社会有无数种方式可以让一个人变得庸常,却没有多少条件让一个人的能力发挥到极致。

普通大众对精英似乎怀着种隐约的敌意。比如,有这样一种心理倾向,如果一个精英的利益受到侵害,他就不能像普通人一样引起同情。人们往往会觉得,你已经这么优秀了,受点损失也没有什么。然而,不管我们多么强调“大多数人的利益”、“群众的智慧”,我们都必须承认一点:一个社会里文明的上限,还是由这个社会里的天才决定。

以上只是从心理和文化的角度进行分析,但我认为,精英教育的缺失,更主要的原因还是在经济方面。

在19世纪的西方国家和20世纪的中国,在经济方面都有一个显著的变化,那就是普通民众的购买力得到显著提高。人们在满足温饱之余,还有余钱进行消费。于是,各种商品开始向大众倾斜,其中也包括教育。如果我们把教育的普及程度和经济发展指标进行对比,就可以发现两者间存在高度的一致。有人说,这不正说明“科教兴国”吗?但我们要明白,经济中的各现象间往往不是简单的因果关系。大众教育程度的提高也许的确促进了经济的发展,但经济发展带来的民众购买力的提高,也使各教育机构更卖力地向民众兜售他们的商品——大众教育。

那么,为什么教育机构不向民众兜售精英教育呢?因为这个的受众太少了。试比较下面的两个写作培训班,一个培训班培养孩子写出高分作文,一个培训班培养孩子写出十万字的小说。你觉得有多少人会送孩子去读第二个培训班呢?虽然在我看来,一篇优秀的十万字小说胜过一百篇所谓的“高分作文”。

也许有人说,受众少没关系,定价高点就行了,奢侈品不就是这样定价的吗?但精英教育的痛点就在这里——有天赋的孩子,不一定是有钱人的孩子。所以精英教育的潜在消费群体少不说,他们还出不起高价。

正由于精英教育面对着这样文化上、观念上、经济上的困境,所以在可以预见的将来,精英教育都很难兴起。很多有天赋的孩子,至少在大学以前,是难以得到很好的栽培的。

最后,还是回到培养数学人才这个话题上来。也许有人想到了奥数,但我认为很多奥数的题目一味求难求怪,只能偶尔做一下作为思维的调剂,如果一头扎进去,也没有多大益处。而且,奥数培训中对数学知识的讲解,也依然是不成体系的。

那么,好的中小学数学教材应该是什么样子?我这里只能简单勾勒一下,因为我自己也还没有想得很清楚。

教材应该从讲授集合和逻辑开始,因为这两个几乎是后续一切数学的基础。当然集合论和逻辑学本身都是内容很丰富的学科,所以也不可能讲完,只讲到能满足后续几章推导的程度。接下来可以介绍整个数系了,不要像现在教材这样先讲自然数,过了几年谈有理数,再过几年谈无理数。应该一上来就把整个数系的框架描述清晰。接下来才是讲数的基本运算规则……

若按这种教授方式,可能孩子学完一学期,还不会算“1+1”,但建立起来的逻辑思维能力和对数学的整体理解,应该可以胜过很多成年人了。

教材后续内容的安排也是件麻烦的事,先讲什么后讲什么需要仔细斟酌。如何才能自然流畅地带出数学各分支的内容,如何才能把各种数学思想贯穿其中,这些都是很富有挑战性的工作。

我认为,无论是谁,如果可以编出这样的一套教材——虽然教材的受众只是一些富有数学天赋的孩子——这都可以算对人类文明的一大贡献。

很遗憾我们现在没有这样的一套教材,而在初等和中等教育阶段,我们也没有任何可以拿得出手的精英教育。

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THE END
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