小学数学的体系是怎样的?

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【前言】非专业人士,只是从一个四年级家长的角度,为了陪孩子学习数学和奥数而自己做的梳理。小学数学的体系看完之后,后面打算再看一下初中数学和小学奥数的体系。

之所以把初中数学放在小学奥数的前面,是因为发现小学奥数里面的超前内容较多,小低年级用到小高年级的内容,而到了小高年级就会用到初中的内容。

此外,初中入学的分班考就已经在考初中的内容,甚至部分中考的内容,这也是原因之一。(仅针对北京海淀,其他区和城市不了解哈)

坚持更新不易,如果觉得有帮助,请您在收藏的同时点个小小的赞~ 谢谢

一年级到六年级的教材要点小结(太长不看版)

小学数学的内容主要围绕着数与代数、图形与几何、统计与概率这三大模块来展开,从五年级开始引入一些简单的数论知识,为初中的数学学习打下基础。

这三大模块中,数与代数是最大的重头戏,图形与几何、概率与统计则更多为基本概念的理解与掌握,其进阶学习将会出现在初中。

下面是我在花了两个多月扒完12本教材的基础上,最后做的小结:

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参考阅读:

一年级到六年级的数学教材要点梳理(北师大版

以下为一到六年级共12本数学教材的学习要点,提到的教材内容均来自北师大版小学数学教材(因为孩子上课用的这个版本),电子版课本在这个网站上找的:

2022.08.25 更新 新版小学数学教材线上版(目前只有上册资源),自取:

一年上级‬册 义务教育教科书 数学 一年级 上册

二级年‬上册 义务教育教科书 数学 二年级 上册

三年级上册 义务教育教科书 数学 三年级 上册

四年级上册 义务教育教科书 数学 四年级 上册

五级年‬上册 义务教育教科书 数学 五年级 上册

年六‬级上册 义务教育教科书 数学 六年级 上册

一年级上册数学教材要点

一 生活中的数 (引入数和量词的概念)

1、数数、把一定数量的物体圈出来或画出来;

2、学会写1-10的数字;

3、学会比较10以内数字的大小、多少。

二 比较(引入不同维度的比较)

1、大小、多少的比较;

2、高矮、长短的比较;

3、轻重的比较;

4、“相等”的概念。

三 加与减(一)(引入10以内加减法)

1、理解1位数加法(“凑”的概念,如3和2凑成5);

2、理解1位数减法(“剩下”的概念,如5拿走2剩下3);

3、0的概念;

4、用不同的个位数通过加减得到同样的结果,理解多解的情况(如已知结果是3,哪两个数相减可以得到3),并为第七单元加与减(二)引入加法表做准备;

5、简单的排列(如6个苹果放在2个盘子里,7根香蕉分给两只猴子等,有多少种方法);

6、让孩子试着自己提出数学问题并用加减法进行计算求解;(如合唱队里面一共有多少个小朋友)

四 分类(引入“类”的概念(组),以及生活中有哪些不同的类别)

1、会飞的 vs 不会飞的动物,蔬菜 vs 水果,玩具 vs 文具 vs 服装等;

2、理解同一组物体可以用不同的维度来分为不同的类/组,如对同一群人来说,根据性别、生日、身高等,可以分出不同的类/组。

五 位置与顺序 (引入“顺序”的概念,以及生活中有哪些不同的顺序)

1、位置顺序:前后左右、上下等;

2、位序(此单元一带而过):第几名、第几个。

六 认识图形(引入立体图形的概念)

用生活中的物品来让孩子明白长方体、正方体、圆柱、球等立体图形。

七 加与减(二)(将物体进行抽象进行加减运算,引入2位数,引入个位和十位的概念)

1、用小棍来代替具体物体(如羊);

2、引入10以上的2位数,并用10支一捆的小棍或算盘珠子来进行抽象表示;

3、个位、十位的概念(十位上的1等于10,而不是1;10个1是1个10);

4、20以内的加减法;

5、对20以内的数字进行大小比较;

6、引入加法表;

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7、继续让孩子尝试提出身边的数学问题(除了数字,也包括图形)。

八 认识钟表(学会看钟表上的时间(12时制))

1、用起床上学吃饭睡觉等孩子常见的时间点来让孩子学会看钟表上的时间;

2、引入数字显示器上的时间显示,并与钟表上的时间相对应;

3、根据日影判断大致的时间;

(一年级上册总复习

数与代数

1、数的认识,会对20以内的数进行按顺序数数;

2、数的运算(20以内的加减法);——> 从篇幅上可以看出来,这是本册书的重点

3、比较(从物体的大小多少到数的大小比较),20以内数的大小比较;

4、数位的概念:个位与十位; ——> 跟数的运算密切相关,也是重点

5、认识钟表上的时间(早中晚);

图形与几何

1、认识常见的立体图形(长方/正方体,圆柱,球);

2、位置与顺序(上下左右前后,第几);

统计与概率

“类”的概念(如何分类);(为后期的统计概率打下基础)

一年级下册数学教材要点

一 加与减(一)(继续作为重点内容用较大篇幅阐述,本单元侧重逆运算的概念和20以内减法的计算)

1、先复习了一下20以内的加减法运算,小棍、算盘珠子、计数器轮番登场;(这时老师应该会要求买计数器了,我家当时买的是这样的)

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2、用拆数法进行20以内加减法的计算;(如12-7可以拆成两种:10+2-7或者12-2-5)

3、引入逆运算的概念;(因为7+5=12,所以12-7=5)

4、从更多角度复习减法的概念(缺多少、藏起来多少、不够/差多少);

5、在已知和/差的情况下,求被加数/加数或被减数/减数,继续为后面的数字逆运算打基础;(如8+( )=14);

6、继续用实物阐述逆运算的概念;(如蓝伞比红伞少几个,也就是红伞比蓝伞多几个);

7、让孩子尝试提出减法的数学问题;

8、引入减法表(上册引入了加法表);

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二 观察物体 (物体的立体三面视图)

通过实物观察,让孩子理解正面、背面、侧面的概念,为后期理解物体三视图打基础。

这一单元较为简单。

三 生活中的数 (扩展到100以内的数,并引入百位的概念)

1、上册引入了10以内、20以内的数,这册开始引入100以内的数;

2、抽象计数的工具除了小棍,又增加了小方块 (小方块的矩阵和立方体结构更容易表达更大的数,也为接下来的乘法打基础);

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3、在个位、十位的基础上,引入百位;

4、比较100以内的两位数的大小;

5、引入百数表;

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6、引入简单的排列概念,为后期的排列组合打基础;(如2、5、8能组成的最大的数和最小的数是多少)——> 这也是奥数中一个非常重要的主题

四 有趣的图形(在上册立体图形的基础上,引入平面图形、对称和七巧板的概念)

1、引入正方形、长方形、三角形和圆形;

2、让孩子理解平面图形与立体图形之间的关系;(如圆柱的一个面是圆形)

3、引入点子图(通过在点之间连线画出不同图形);——> 点子图非常重要,在后期的乘除法中会用到

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4、数组合图形中的不同图形的个数;——>这也是奥数中的一个主题,这里是打基础

5、用折纸的方法引入对称的概念(一样的两部分);

6、用剪纸的方法进行图形的组合,让孩子理解同一组图形可以组合成不同的形状;

7、由此引出七巧板和平行四边形的概念;

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8、继续引入更多的平面图形,如梯形、六边形。

五 加与减(二)(一位数与两位数、两位数与两位数的加减法,竖式和“>”“<”的引入)

1、引入加数-加数-和和被减数-减数-差的概念;

2、整十数的加减法;(如60+30=)

3、一位数与两位数的加减法;(如47-5=)——> 此时还没有涉及到进位和借位

4、从以上2、3点引申出,十位上的数要和十位上的数相加减,个位上的数要和个位上的数相加减;(如34+2,2应当加到4上面而不是3上面)

5、引入竖式计算法和“对齐”的概念;(相同数位对齐,从个位算起)

6、引入大于“>”和小于“<”符号;

7、开始出现简单的竖式谜;——> 也是奥数中的一个主题

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数学好玩(这是一个没有编号的单元,内容偏思维拓展)

1、从不同维度对同一组图形进行分类;

2、引入一位数的幻方;

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六 加与减(三)(引入进位和借位的概念)

1、个位的满十进一;

2、十位的借一当十;

3、用拆数法进行100以内加减法的计算;(如100-48可以拆成两种:100-40-8,或者99+1-48即99-48+1)

4、开始引入3个数的加法。 (如50元可以买哪3个玩具)

一年级下册总复习

数与代数

1、100以内数的加减法和大小比较;

2、认识新的数位:百位,并复习个位和十位;

3、会写加减法竖式;

4、理解进位与借位;

5、3个数的加减法(简单引入)。

图形与几何

1、正方形、长方形、三角形、圆形、平行四边形、梯形等图形的认识和拼接;

2、学会观察物体的立体三面视图:正面,背面,侧面;

3、会玩七巧板。

二年级上册数学教材要点

一 加与减(开篇依然是加与减,贯穿三个学期的重要主题)

1、从2个数的加减法拓展到3个数的连加连减法;(如24+30+41=)

2、无进位的3个数加法竖式;

3、复习带借位的两位数减法;(个位向十位借一当十)

4、3个数的连减;(如77-33-25=)

5、在连加连减的基础上引入加减混合运算;(如52-9+15=)—-> 为后期的四则混合运算打基础

6、引入两位数的幻方;

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二 购物(认识人民币)

1、元、角、分的概念和换算;

2、通过买东西的练习进行元角分的组合运算;(如买一瓶1元5角的酱油可以怎样付钱?(不止一种方式))

3、让孩子提出生活中的实际问题。

三 数一数与乘法(从加法过渡到乘法,乘法与加法有关系)

1、用分组和行列的方式计算加法;

2、从加法过渡到乘法,引入乘数、乘号和积的概念;——> 注意这里细究的话4个2写成2×4,即每组数量为被乘数,组数为乘数;4×2表达的意思则是2个4;

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3、练习将加法改写成乘法;(如2+2+2+2+2+2=12可以写成2×6=12)

4、用点子图中的行列来理解和表达乘法;(行列是可以互换的)

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四 图形的变化 (继续拓展对称的概念(轴对称、中心对称)并引入华容道)

1、在上册折纸对称的基础上,继续用剪纸的方法让孩子理解轴对称和中心对称图形;——> 此时还没有引入这两个名词,只是让孩子认识

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2、引入华容道;——> 有点没搞明白为啥把华容道放在这个单元?跟本单元其他内容好像没什么关系

五 2~5的乘法口诀(引入乘法口诀,为后期的九九乘法表打基础)

1、5的乘法口诀,并用点子图来辅助理解;——>终于搞明白九九乘法表里面每一行该怎么念了,转折点在nxn这里

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2、在5的乘法口诀基础上,让孩子自己尝试编出2的乘法口诀;——> 不是很明白为啥先从5的乘法口诀开始讲,然后才是2、3、4

3、继续引入3、4的乘法口诀,并让孩子理解等量递增;(如,三七二十一,那四七就是比三七再多一个七)

4、简单的数字规律;(如10,15,20,____)——> 也是奥数的主题之一

5、引入2~5的乘法表;

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整理与复习(从本册开始出现了期中的整理复习)

1、三个数的加减混合运算;

2、元角分的认识和换算;

3、加法与乘法的关系和转换;

4、华容道;

5、2、3、4、5的乘法口诀。

六 测量(常用长度单位和尺子的使用)

1、通过量身边物体的长度引入长度和度量单位(统一的测量标准);

2、尺子的认识和使用(物体的一端要对准尺子的0刻度);

3、常用的国际通用长度单位(厘米/cm,米/m)及换算(1米=100厘米);

4、让孩子对米和厘米有多长进行感知,知道什么情况下使用哪个单位更加合适;(如人的身高vs书本的长度)

5、我国的长度单位(尺,寸)及换算(1米=3尺,1尺=10寸)。

七 分一分与除法(引入除法和倍数的概念)

1、用“平均地分东西”的方法引入除法的概念(除法即为平均分);

2、解释“平均”的概念;(分完后每份的个数是同样多的)

3、让孩子理解同一组物体可以按照不同的个数来平均分;(如12个苹果,可以分成3个一堆,也可以分成4个一堆)——> 为后面引入除数打基础

4、引入被除数、除号、除数和商的概念;

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5、用乘法口诀来解决除法问题;——> 即为逆运算的概念

6、用“份数”的概念引入“倍”的概念;(如6里面有2个3,每份为3的话6是2份3,则6是3的2倍)——> 很重要,跟奥数里面的和差倍主题相扣

7、再引申到被除数是除数的商这么多倍;(如8÷2=4,则8是2的4倍)——> 注意“是几倍”和“多几倍”的区别,如8是2的4倍,但8只比4多一倍,在数学题干里面经常出现这样的坑

八 6~9的乘法口诀(在2~5的乘法口诀的基础上引入6~9的口诀,形成完整的九九乘法表)

1、引入6的乘法口诀;(从一六到六九,同理转折点在6×6(六六)这里,6×6之前念一六二六三六四六五六,6×6之后念六七六八六九)

2、用点子图演示6的乘法的多种分解方式;——> 为后期的乘法分配律打基础

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3、继续引入7的乘法口诀;

4、在此基础上,让孩子自己尝试编出8和9的乘法口诀;

5、至此,九九乘法表终于可以隆重登场了:

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数学好玩 (思维拓展单元)

1、通过“班级旧物市场”这样的活动设计和参与,让孩子通过买东西、找钱等来灵活运用本册学到的数学知识 ;

——> 我觉得是不是叫“跳蚤市场”更接地气……而且,我才反应过来其实孩子的学校根本没用组织过类似的活动,估计就是课堂上讲一讲就过去了吧,唉

2、让孩子认识到自己身体上不同部位的长度(如脖子周长、臂长、身高等),并引入“步测”的概念;

——> 如果孩子正好学到了这里,可以顺便讲个“英尺”的小故事:foot简称ft ,古英国时期因为没有国际公认的度量单位,所以人们往往使用自己的脚来测量实地的面积,久而久之,一种基于成年男子单脚的长度就被公认为英国等国家认可的标准度量衡。后来 德国人出了一招,让最早从教堂出来的16个男子量出左脚的长度加在一起,再除以16,商就是一尺;

九 除法 (这标题感觉跟第七单元有点重复啊,没搞明白为啥没跟七单元合并)

1、继续用点子图帮助孩子理解除法;(对“平均分”的概念进一步抽象)

2、用乘法口诀来解决除法问题;——> 侧面引入乘除互为逆运算

3、用“平均分组”来理解除法;

4、用比较的方法来估算最大乘数,如5 x ( ) < 36;——>为后期引入余数打基础

(二年级上册总复习

数与代数

1、3个数的加减混合运算;

2、“倍”的概念(加法与乘法的关系和转换);

3、2~9的乘法口诀,九九乘法表;

4、除法的概念(平均分)及与乘法的逆运算;

5、练习100以内的乘除法;

6、人民币元、角、分的换算和计算;

图形与几何

1、生活中常见的长度单位(厘米,米,寸,尺);

2、轴对称图形。

二年级下册数学教材要点

一 除法(引入除法竖式,余数和简单的周期问题)(上册把前菜上完,这册开始除法的正餐了!欧耶(我在高兴个啥……))

1、复习“平均分”的概念;

2、引入可以整除的除法竖式;

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3、用“分完后还剩下多少”引入余数的概念;——> 有一个很重要的知识点在书里一句带过了:余数不能大于除数。这个知识点在跟除法相关的奥数题里面会反复出现

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4、竖式中的余数;

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5、继续用比较的方法来估算最大乘数,如4 x ( ) < 17;——> 为计算带余数的除法打基础

6、用租船问题说明“上限”的概念(=最多);(如限乘4人,就是不能超过4人或最多4人)

7、引入简单的周期问题;——>这也是奥数的一个主题,这里只是简单提及,本册后面的“数学好玩”单元里面引入了重复、规律的概念和更多例子

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二 方向与位置 (东南西北的辨认,本单元较简单)

1、用生活中的物体(如太阳、北斗星)辨认东南西北四个方向;

2、介绍指南针。

三 生活中的大数(引入百、千、万的概念及估算的方法)

1、引入一百和一千的概念(即99+1和999+1);

2、通过数小方块让孩子明白10个一百是一千;——>为后面的十进制打基础

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3、引入一万的概念(即9999+1);

4、让孩子一百一百地数数,数到一万;(如从8800数到10000)

5、让孩子熟悉百位、千位并会念4位数(x千x百x十x);

6、明白每个数位上的数字代表多少;(如,十位上的4不是4个1而是4个10)

7、4位数的按数位拆解(如2128=2000+100+20+8);——>为巧算打基础

8、介绍算盘;

9、介绍中国古代的计数方法(甲骨文,算筹);

10、对百位数和千位数进行比较,理解4位数都是大于3位数的;

11、用“大致接近”和“位置更近”引入估算的方法;——> 如4001可以估算为4000

12、用倍数进行估算;

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13、引入简单的数字规律题(如5725,5825,___, ___, 6125);——>也是奥数中的主题之一,只是比这里的规律要复杂很多

四 测量(引入分米、毫米和千米,进行米/分米/厘米/毫米的换算)

1、10厘米等于1分米,感受身边的一分米(如手的一拃);

2、10毫米等于1厘米,感受身边的1毫米(如2分硬币的厚度);——> 这里的例子太老旧了,现在家里别说硬币,连纸币都很难找到,希望老师还举了别的例子

3、米、分米、厘米、毫米的相互换算;

4、引入“千米”的概念和单位(km),1千米=1000米。——>行程问题开始萌芽了(相遇/追及)

整理与复习 (期中的复习单元)

1、除法竖式及余数;

2、东南西北方向的辨认;

3、大数(百、千、万)的认识和比较,大数数位(百位、千位、万位);

4、会念4位数;

5、长度单位(米、分米、厘米、毫米、千米)及进制;

6、米/分米/厘米/毫米之间的相互换算;

7、4位数的按数位拆解;

8、3位数和4位数的大小比较;

从篇幅来说,上半册的重点是除法和大数。

五 加与减

1、三位数的加减法;(重点是练习百位的加减,如500+800=,800-500=)

2、两位数、三位数和四位数的混合加减运算(横式);

3、两位数和三位数的混合加法运算(竖式),重点是数位的对齐和进位(哪一位相加满十,就向前一位进1);

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4、两位数和三位数的混合减法运算(竖式),重点是借位(不够减的时候向前一位借1);

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5、复习“借一当十”的算法;

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6、通过拆数的方法,将需要借位的减法转换为不需要借位的减法;(如将上面的300-76转换为299+1-76,也就是299-76+1,计算的时候就不需要借位了,可以口算出结果)

7、引入“验算”的概念,如买两本书,一本138元,一本118元,合计256元,则可以用256-118=138来进行验算;——> 验算是非常非常重要的学习习惯之一,我家孩子之前没有养成这个习惯,后期很多题出现简单的计算错误而不自知,花了半年时间才慢慢培养出来这个习惯,而且到现在习惯都不是很牢固,有时候会验算,有时候又忘了,唉,头疼,如果能早一点抓,就尽量早点抓吧。


【插播】
写到这里,顺便借用一下《给孩子的数学解题思维课》这本书里面提到的数学解题思维模式:

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这个方法论我觉得非常好,因为我家孩子到了三四年级在数学上反复出现几大类基础错误:

读题审题相关错误 ——>对应“读题审题”
a. 题没读全(读了一半题干以为自己懂了,就开始动手做,错了以后才发现后面半段题里面有坑);
b. 题读全了但审题不仔细(如问的是千米,答的是米);
c. 无法准确理解题干(如题干里面说“第一个孩子报3,第二个孩子将第一个孩子的数乘7,再报出个位数”,孩子会写成211而不是1);
d. 读不懂题(如题干里面求声音在人和墙之间传播的速率,孩子不知道声波会反射,只算了单侧的距离)。

解不完全相关错误 ——> 对应“解唯一吗”
a. 在多解的情况下只求了一个解;
b. 做选择题的时候,无法选择出所有正确选项。

计算相关错误 ——> 对应“验算”,以及加强口算练习
a. 看错数字(如把6看成9);
b. 换算错误(如把1小时换算成600秒);
c. 多零或少零(如900000写成90000);
d. 有的孩子还会在运算顺序上出错,如先加减,后乘除,这个问题我家孩子倒是基本没有,主要是上面3点错误多,唉,都是小学低年级欠下的债啊!
基础不牢固,就谈不上拓展和提升,我现在是把这个图表打印成一张小纸条,贴在孩子数学书封面内侧,让她时时复习,回来之后再背给我听,希望能早日养成这些良好的思维习惯。
【插播完毕】


【继续接上面第7点】

8、加法和减法中的连续进位和连续借位(如个位要向十位借一,十位又要向百位借一的这种情况);——>易错点,用验算的方法可以有效更正

9、思维拓展找规律;(如从0-9中任选两个不同的数,组成最大的数和最小的数后再相减,找它们的差的规律(个位和十位的和都为9))——> 已经非常接近奥数题了

六 认识图形(角的认识,锐角/直角/钝角,复习长方形/正方形/平行四边形,从这个单元开始要准备三角板了)

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1、“角”的认识;

2、角的组成元素:1个顶点和2条边;——> 在奥数里面“数角”的时候会用到这些基础概念

3、角的表示方法(如∠1,∠2)和读法(如角1,角2);

4、比较不同角的大小;

5、数多边形的内角(如三角形、矩形、五边形各有几个角,正方形剪去一个角还剩几个角);

6、认识直角、锐角和钝角,知道三角板各个角的度数,并结合折纸和七巧板加深理解;

7、在一年级引入长方形、正方形的基础上,继续阐述这两种图形的角和边的特点;(对边/四边相等,四个角都是直角)

8、引入长方形的“长”和“宽”,以及正方形的“边”的概念;——> 第7点和第8点非常重要,是后期各类周长、面积、内角题的基础

9、用七巧板和小棒摆出长方形和正方形,帮助孩子加深理解;

10、数长方形和正方形;——> 也是奥数中的一个主题,当时给我数得头晕眼花的,唉

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11、复习平行四边形(一年级引入);

12、平行四边形与边长相等的矩形的区别(边长不变,但内角不同);

13、其他四边形:梯形、菱形和筝形;——> 在这里也可以试着让孩子理解一下,其实正方形、长方形、菱形都是特殊的平行四边形

14、学会用三角板的组合来测量角度;(如用90°+30°的两个角可以测量出120°的钝角)

【这个单元的知识点多,信息量很大,孩子容易遗忘或记混,需要耐心帮助孩子熟悉和区分】

【在主干内容中穿插了三位数的加减法复习,这个设计很科学,打算自己平常带孩子学习的时候也用起来】

七 时、分、秒(时钟、时针和时间的认识,需要准备一个类似下面这样的可以用手拨指针的钟表模型)

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1、机械式时钟(有指针)和数字式时钟(液晶显示屏)的认识;

2、认识时针、分针、秒针,知道钟面上有多少个数字、多少个大格、多少个小格、时针分针分别走一大格或一小格是走了多少时间;

3、知道1小时=60分钟;——> 注意这里其实出现了一种新的进制,六十进制;此处可以顺便可以孩子讲一下,进制不止一种,还有二进制、24进制(如24小时=1日)、12进制(如12个月=1年)等等;

4、认识钟表上显示的时间,主要是对“时”和“分”的认识(如1时30分,8时55分);

5、知道1分=60秒,并让孩子通过数秒、数心跳等方式,感知一秒钟和一分钟分别有多长;——>写到这里说个题外话,孩子的时间管理能力真的很重要,到了四年级,每天都会发现时间不够用,如果孩子平常就习惯于磨磨蹭蹭,对时间没概念,到了中高年级分分钟能让爸妈头冒青烟……说多了都是泪,唉,我们家之前做得也不好,现在正在慢慢建立时间管理的习惯,希望亡羊补牢,未为晚矣吧!

6、分和秒的换算(如75秒是几分几秒,1时30分是多少分);

7、让孩子们估算自己日常活动需要花费的时间(如刷牙、吃饭);——> 这是一个好契机让孩子学会估算和验证自己做某件事情的时间是否准确,并慢慢调整“时间感”。比如像下面这样(仅供参考):

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8、在时间的基础上引入“速度”的概念(单位时间内跑了多长距离),并学会比较速度的大小,快与慢;——> 奥数中的行程问题(相遇&追及)就从这里开始萌芽了

9、时间段的概念和计算(如从9:00到11:00经过了几时或几分);——> 也是奥数中的一类问题,这里是12时制,后面还会引入24时制

【在主干内容中继续穿插了三位数的少量加减法复习】

数学好玩(理解重复–>规律的概念)

1、通过记录上学时间的方法,学会制作时间表(记录出发时间,到校时间,然后算出路上用的时间);——> 这个技能对孩子的时间管理能力很有帮助!有心的家长,可以从此时起就培养孩子的时间观念,到了中高年级会受益无穷 ——> 其实仔细想一想,应该说对后面的整个人生都很有帮助

2、用“重复”来理解“规律”的概念(如一个男生一个女生一个男生一个女生……,两个长方形一个三角形两个长方形一个三角形两个长方形一个三角形……);——> 在一单元的基础上继续为周期问题打基础

3、学会用抽象的方式来表达规律,如√√××√√××√√××……,112 112 112……;

4、观察和发现生活中的重复现象,加深对规律的理解(如星期、节拍、季节等)。

八 调查与记录(引入统计的概念)(WOW,大BOSS来了!统计与概率将会是个一直延伸到中学乃至大学的主题,就是从这里,小学二年级,开始萌芽)

1、“调查”的过程:让孩子们询问和记录每个同学喜欢的动物或水果等,并对结果进行整理汇总;

2、“调查”的记录:学会用抽象的方式来分类记录整理后的调查数据,如∣∣∣∣∣(表示5),或○○○○○○○○(表示8只兔子)或xxxxxx(表示6只猴子);——> 一年级时学习的“类”和“分类”的概念在这里得到了实际应用,孩子需要理解统计相当于分类汇总,如何分类影响到统计的结果(例如对同一组图形来说,按照颜色来统计和按照形状来统计,可能会得到不同的结果)

3、其他的记录方式:除了用图形符号,还可以用“正”字或“卌”(xì)字来对调查结果进行记录,每个字是5票,最后数有多少个字就知道一共多少票了。

(二年级下册总复习

数与代数

1、回忆百、千、万的概念和估算;

2、大数的表示和比较;

3、时、分、秒的概念和换算,估算做某件事情的时间,已知起始时间点(如7:50)和经过的时间(如20分钟),计算结束时间点(8:10);

4、带余数的除法;

5、算盘的简单用法;

6、找数字规律;

7、复习竖式和验算;

图形与几何

1、东、南、西、北的方向辨认;

2、长方形和正方形的特点;(如四个角都是直角,正方形四条边相等)

3、毫米、厘米、分米、米、千米的理解和互相换算;

4、锐角、直角和钝角;

统计与概率

学会制作调查记录表,关键点:

1、分类(如按球的种类、动物的种类等);

2、汇总;

3、记录方式(如√√或正正或卌卌)。

三年级上册数学教材要点

一 混合运算(四则混合运算;运算优先级:先乘除后加减;脱式的写法;四则运算中的小括号改变运算顺序)

1、引入加减法和乘除法的四则混合运算(如3×4+6或20-2×7,18÷3+4或3-10÷5),理解不管乘除法出现在算式的前面或后面,其运算的优先级都高于加减法,即应当先算乘除法,再算加减法;

2、脱式的写法,如:(脱式是与竖式对应的一个称谓,意思是脱离竖式,即递等式计算,把计算过程完整写出来的运算)

3×5+8

=15+8

=23

写脱式的注意事项:

1)先算乘除法,后算加减法;

2)上一步中不参加运算的部分要抄到下一步(如上面第一步里的8),等号前后应该相等;

3、练习100以内的四则运算;


【插播1】
口算能力是小学阶段非常、非常、非常重要的基础能力,如果发现孩子算得慢、常出错,需要进行刻意训练。
我们家用的是黄冈小状元的口算练习册(其他的也可以,网上很容易买到),从上个暑假开始,每天做一页,连续3个假期下来,孩子做完了3本的大部分(没有全部做,因为时间有限,我会根据她的情况挑着做),计算的速度和准确度都有很大提升。
如果平常时间富余,那就不用堆到假期去突击,跟着课后作业每天做一页,效果更好,还可以随着孩子熟练度和准确度的提升,慢慢增加难度,为后期奥数中的巧算、简算、综合运算题等打下更好的基础。

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【插播2】
昨天孩子回家告诉我,这次的数学和英语单元测试她又是100分,全班30个同学只有3个得了数学满分,4个得了英语满分,她觉得非常自豪。
老母亲也很是欣慰,艰苦努力了半年多,终于在班内见到成效,孩子的心态也从之前认为自己是个废柴,到了现在认为自己潜力无穷。
虽然在年级内还有很大差距,语文目前也还只在91-95分之间徘徊,但良性循环一旦开始,后面就是继续努力滚雪球了。
等把数学差不多理顺了,就该弄语文了。
路漫漫其修远兮啊!
【插播完毕】


4、括号的使用及其对运算优先级的改变(当算式中出现小括号时,要先算小括号里面的),比如在下面的这个算式里面,就不是先算25÷9,二是要先算29+25;

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二 观察物体(物体的三面视图和相互位置关系)

1、在之前的基础上继续讲解物体的立体三面视图,通过实际观察理解在某个固定位置上最多只能同时看到物体的三个面;

2、观察并理解多个物体之间的相互关系(如相对位置,遮挡)。——> 这一点在绘画中也会用到

三 加与减(三个数的连加连减,进位借位,简算,验算,里程计算,简单竖式谜)

1、三个数的连加(如118+104+95=),注意进位问题;

正常脱式:

118+104+95

=222+95

=317

简算:

先把3个数都按照100来计算:100+100+100=300

然后计算剩下的数:18+4-5=17

最后把二者相加:300+17=317 ——> 这里其实已经用到了四年级的结合律和交换律

2、三个数连加的竖式;

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3、三个数的连减(如850-256-280=),注意借位问题;

4、小括号对运算符号的改变,如850-256-280跟850-(256+280)的结果是相等的;——>这个规律会在后期大量应用在计算题中,如简算、巧算

5、复习加减法的验算(逆运算);

6、通过拆数的方法,把需要借位的计算变成不需要借位的计算,如1000-372-210这个式子中的1000可以拆成999+1,然后进行简算:

1000-372-210

=(999+1)-372-210

=999-372-210+1 ——> 注意这里把+1从前面移到后面,结果不变

=627-210+1

=417+1

=418

7、理解加减混合运算的加减顺序不影响结果,如800+185-745跟800-745+185的结果是相等的;

8、开始引入简单的和差倍问题;——> 这也是奥数中的一个主题,学会根据题意准确画出下面这样的线段图,对正确解题有很大帮助

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举个栗子:

一根铁丝,第一次用去一半多1米,第二次用去剩余的一半多1米,此时还剩3米,求这根铁丝原来长多少米?——> 只要能画出正确的线段图,这类问题就能迎刃而解,当抽象思维足够强,解题非常熟练之后,脑海中甚至可以自动生成线段图,不需要画下来就能解题了。

9、引入简单的里程问题,根据已知条件求指定站点之间的里程;——> 理解这个基础知识,对奥数中的行程问题尤其是追及问题,有很大帮助

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10、根据里程表或电表水表等的起始读数和结束读数,计算某个区间的数量;——> 这里也要用到线段图

——> 需要注意的是,当天结束时的表读数并非代表当天的数量,如下面这个表格里的里程表读数(为每天结束时的读数),在星期一早上出车时的读数为35,那么星期一结束时的160并非表示当天行驶了160千米,而应当用160减去35,才能得到当天的行驶里程125千米(电表同理);这是孩子一开始很容易出错的一个地方

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11、引入简单的加减竖式谜;——> 这也是奥数中的一个主题,加减竖式谜和乘除竖式谜,这类题目比较容易掉坑的地方是进位、借位和多解。

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四 乘与除(整十整百数与一位数的乘除法,两位数与一位数的乘除法)

1、在二年级上册一位数与一位数乘法的基础上,引入整十整百数与一位数的乘法:先计算不为0的数字之积,最后把剩下的0加到积的后面即可;——> 由此可以得到一个规律,当乘数扩大10倍,积也扩大10倍,当乘数扩大100倍,积也扩大100倍,以此类推。

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2、引入两位数与一位数的乘法,和几种不同的拆解方式,如对于12(元)x3这个算式,有如下几种方法进行拆解,让孩子更加容易理解:——>记住这里的拆解方式,在后期让孩子理解乘法分配律的时候还会用到

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3、在理解上面第1点(整十整百数与一位数的乘法)的基础上,通过逆运算的方法,引入两位数与一位数的除法,并得到一个类似的除法规律:当被除数扩大10倍,商也扩大10倍,当被除数扩大100倍,商也扩大100倍,以此类推。(如,20×3=60,则60÷2=30,600÷2=300)

——> 这里需要提醒孩子注意的是,这个规律只适用于被除数,而不适用于除数;事实上,如果除数扩大10倍,商反而会缩小10倍,但这个规律要到比较后期才会讲到了

4、理解在被除数不变的情况下,除数越大,商越小;(比如同样的一堆糖,分给2个人和分给4个人相比,后者每个人分到的糖更少)——> 再次复习“除法就是平均分”的概念

5、两位数和一位数除法的拆解方式,是先用整十部分除以除数,再用个位部分除以除数,最后把两个商相加:

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整理与复习(期中复习单元)

1、物体的三面视图和相互位置关系;

2、三位数加减法;

3、简单的和差倍问题;

4、简单的里程和里程表问题;

5、四则混合运算,加减乘除的运算优先级,脱式的写法,小括号对运算优先级的改变;

6、两位数与一位数的乘除法。

五 周长(周长的概念,长方形和正方形周长的算法,用平移的方法计算不规则图形的周长)

1、引入周长的概念:图形一周的长度(这里的图形既包括规则图形如正方形长方形,又包括不规则图形如树叶花瓣等);

2、用标准格子数周长:

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3、通过将各边相加的方法计算周长:

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4、长方形周长的计算方法:(长+宽)x 2;

5、正方形周长的计算方法:边长 x 4;

6、用“平移”的方法计算不规则图形的周长,如下面的4个图形中,后面的3个图形经过线段的平移,可得到其周长与第一个长方形相等:

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教材上没有讲具体解法,我手画了一下,大概是这个意思:

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7、图形切分前后的周长问题,下面是教材上的简单引入:

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实际上奥数中的相关问题会比这个复杂,例如:

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所以孩子需要对周长的概念和算法非常熟悉且灵活运用才可以。

8、理解相同周长的长方形不只一个,因为可以有不同的长和宽(比如周长都为12cm的情况下,可以是长5cm宽1cm,或长4cm宽2cm)。

六 乘法(多位数与一位数乘法竖式的写法,进位,0在乘法和加法中的计算规则,乘数末尾带0和中间带0的计算方法,三个数连乘)

1、引入乘法竖式,注意要让孩子理解竖式每一步的含义(比如,下面这个算式中,十位上的数字1代表10,当与4相乘时应该理解为10×4,而不是1×4),而不仅仅是背下来最终的写法,否则在做“竖式谜”类的题目时,很容易出错;

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竖式谜就是类似这样的题目:

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2、对多位数进行拆分简算,如213×3可以拆解为200×3=600,10×3=30,3×3=9,然后把三个积相加,即得到最终的积639);

3、乘法竖式的进位;

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4、简单行程问题:时速 x 时长 = 行程 (如汽车每小时行驶55千米,3小时则行驶了55×3=165千米);——> 此时可以引导孩子对公式进行灵活运用,如已知行程和时长,如何求时速?已知时速和行程,如何求时长等;

5、引入一个计算规则:0乘任何数都得0,并用此规则对末尾带0的乘法进行简算:

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【插播】
乘法现在已经不分“被乘数”“乘数”“乘”“乘以”了,统称为“乘数”和“乘”。
例如,
3 x 5 ,读作“3乘5”,既表示5个3相加,也表示3个5相加;
3和5都叫做“乘数”。

但除法依然区分“被除数”“除数”“除”“除以”。
例如,
15 ÷ 3,读作“15除以3”或“3除15”;
15叫做“被除数”,3叫做“除数”;
“除”就是“平均分”的意思,“以”就是“被”或“用”或“by”的意思(如“相濡以沫”里的以),
代入之后就是“15被3平均分”或“3平均分15”。
【插播完毕】


6、引入另一个计算规则:0加任何数都等于这个数本身;

7、乘数中间带0乘法的计算方法:如302×5,105×6;

8、三个数的连乘:如24x3x2。

七 年、月、日(大小月,平闰年,拳头记忆法,24时制,时间表)——> 很重要的基础概念,后期所有跟日期相关的周期和计算都会用到这里的知识,我家孩子到了四年级就忘了大小月,解不出日期题,需要复习……

1、年月日的基本概念:一年有12个月,大月(31天)和小月(30天),特殊月份2月(平年28天,闰年29天)。

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2、大小月的拳头记忆法和歌诀记忆法(我自己觉得拳头记忆法更简便易用):

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3、平年和闰年的区别及判断;(一年365天vs366天,二月份28天vs29天)

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【插播】 这里可以顺便给孩子讲讲如何判断闰年。满足下面任一条件的年份为闰年:
1、能被4整除但不能被100整除;
2、能被400整除。
(到400年这个时间尺度就可以了,其实还有更大的时间尺度,但太遥远跟咱们没啥关系,更不会出现在考题里面)
——> 还可以考考孩子,为什么每过几年,就会多出来一天呢?顺便再讲讲地球的公转,以及日历的由来;
这里可以引申的内容很多,包括:
○ 农历和公历的区别;
○ 节气歌;
○ 时间的由来;(是人为制定的,不同的星球上面,时间可能不同)——> 再找个时间带孩子一起看看《星际穿越》,说不定顺便又激发了孩子的宇航员之梦,哈哈哈
○ 时间的测量 ——> 又可以引申出子午线和标准时间的概念
○ 地球上的时区
等等等等等等
【插播完毕】

4、引入24时制,如下午1时可以表示为13时;

5、学会用24时制来计算两个时间点之间的时间段;(如从8:40到14:00,经过了几时几分)

6、理解“时差”的概念(如新疆的日出时间比北京晚大约2小时);

7、学会制作时间表,对某一天的时间进行安排;——> 在二年级下册时间表的基础上继续强化孩子们的时间观念和时间管理技能。再次强调一下,这个技能十分非常特别地重要!不仅仅是一个知识点而已。

数学好玩(测量,排列,公共周期,日历上的日期规律)

测量:通过对校园内某些地方(如操场)进行测量,让孩子了解:

1、测量的方法(如步测、尺子测);

2、测量的工具;

3、测量的操作和数据的记录。

简单的排列:通过服装和餐饮的搭配,让孩子理解简单的“排列”的概念,并在其中引入“有序”的方法。——> 排列组合是奥数中一个很大的主题

1、对不同元素进行有序排列;——> “有序”这个能力绝对是需要刻意训练的,否则在后期用枚举法做排列题、或数矩形数三角形时,孩子很容易数漏或数重复

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2、对排列问题进行抽象表达,从具象到字母;

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3、引入简单的路线问题(从一地到另一地,一共有多少条路线可以走,也是排列问题的一种类型);

时间与数学

1、通过找家人共同的休息日,引入“公共周期”的概念;——> 周期问题中的一个重要概念

2、发现日历上日期之间的规律:竖着相邻的两个日期差为7(周期为7),四宫格或九宫格中的日期对角线相加或横纵相加的和相等;

3、简算启蒙:1+2+3+…+98+99+100, 可以用(1+100)x 50 = 5050来进行简算;——> 后期会拓展到等差数列的求和

八 认识小数(小数的概念和读法,小数的加减法)

1、通过元角分引入小数的概念:如3元1角5分就是3.15元;

2、小数点和小数的读法;

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3、练习将元角分换算为小数,如8角1分是0.81元,而不是8.1元;

4、知道小数末尾的0是可以省略的,如1.80元也可以写成1.8元;

5、比较小数的大小,如4.9比5小,5.1比5大;

6、无进位/借位小数加减法的三种计算方法:先算整数部分再算小数部分,二者相加;或都换算为不含小数点的单位再相加;或带小数点直接相加(竖式中小数点要对齐),举例如下:

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7、带进位小数加法的三种计算方法:

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8、带借位小数减法的三种计算方法:

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9、生活中的其他小数:身高,体温,长度等。

(三年级上册总复习

数与代数

1、两位数和一位数的乘除法;

2、四则混合运算的运算顺序(先乘除,后加减,小括号优先);

3、小数的加减法(竖式中小数点要对齐)及大小比较;

4、认识年、月、日及其规律(平年,闰年,大小月,星期,日历);

5、掌握24时制,并能将12时制转换为24时制(如晚上8点即为20:00);

6、里程表和里程问题;

7、学会根据题意画线段图;

图形与几何

1、周长的概念;

2、计算长方形和正方形的周长((长+宽)x 2,边长 x 4);

3、计算拼接图形的周长(注意减去拼接边);

4、物体的三面视图。

三年级下册数学教材要点

一 除法 (除法竖式的写法,除不尽数位的处理,估算商的位数,0的计算规则,被除数中间和末位带0的情况,数位不够商1的处理,除法的验算,带括号除法的变号规则)——> 这个单元的内容很多,需要慢慢消化

1、引入两位数与一位数的除法竖式,让孩子理解除法竖式要从高位算起,以及竖式每一步的含义,如68 ÷ 2这个竖式可以分为如下三步来看:

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用小棒来看这个过程更加容易形象地理解:

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2、对于无法整除的数位(除不尽),处理方法是将这个数位的余数和下一个数位凑到一起,继续下一步除法:

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也用小棒来看一下这个分的过程:

图片[77]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

3、估算商的位数:如888 ÷ 6的商,因为600 ÷ 6=100,而888比600大,所以商一定是三位数;

4、三位数与一位数的除法,如369 ÷ 3;

5、引入一个计算规则:0除以任何不是0的数都得0;——> 这里可以顺便复习一下之前学习的,0乘任何数都得0,以及0加任何数都等于这个数本身

6、被除数中间带0的情况如何处理:

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7、被除数末尾带0的情况如何处理:

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8、十位不够商1的情况如何处理(商0):

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9、学会用乘法来对除法进行验算;(如对502÷2=206进行验算,206×2=412不等于502,说明计算有错误)

10、简单的年龄问题(其实就是和差倍问题的一类),如孙子今年5岁,爷爷今年65岁,求明年爷爷的年龄是孙子的几倍?——> 年龄类的问题,关键抓住不管往前往后推几年,年龄差始终不变

11、除法竖式谜;

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12、百位不够商1的情况如何处理(商0,看前两位):

图片[82]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

13、如何验算有余数的除法:商x除数+余数=被除数;

14、除法加括号/去括号需要变号:如200÷2÷4,如果要对后面两个数加括号,应当写成200÷(2×4);——>这是一个非常重要的运算规则,在奥数的简便计算中会经常用到;

图片[83]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

【插播】
与之类似的还有减法加括号/去括号需要变号,如200-40-20=200 -(40+20);
但加法和乘法加括号/去括号就不需要变号,如200+40-20=200 +(40-20),200x2x4=200 x(2×4);
需要注意的是在四则混合运算中,一级运算(加减)和二级运算(乘除)都只影响同级运算是否变号,例如:
100-10×2-10×3=100 -(10×2+10×3)
此时并不需要把括号里的乘号变成除号。
【插播结束】

二 图形的运动(轴对称,平移和旋转)

1、引入轴对称的概念(从中间分开,两边一样,如“囍”字);

2、验证轴对称图形的方法:对折后可以重合;

3、引入对称轴的概念:对折时的那条折线,就是对称轴;

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4、轴对称的应用:剪纸;

5、理解平移和旋转。

三 乘法(乘数扩大对积的影响,两位数与两位数的乘法及竖式)

1、理解乘数扩大10倍或100倍的时候,积也会扩大同样的倍数(如5×1=5,则5×10=50,5×100=500);

——> 这个计算规则可以使用在简便计算中,如计算240×20的时候,可以先计算24×2,再将积扩大100倍即可(即末尾加上两个0)

2、在三年级上册两位数与一位数乘法的基础上,引入两位数和两位数的乘法,并用三种方式进行拆解;

——> 学会对乘数进行多种方式的拆解(即裂项),也会对奥数中的简便计算有很大帮助,很多巧算都需要从多个角度去对因子进行裂项,从而找到最合适、最简便、效率最高的计算方法;

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3、两位数与两位数乘法的竖式写法及每一步的含义:

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整理与复习(期中复习单元)——>因为第一单元除法的内容很多,本册一共只有七个单元,三单元之后就是期中复习了

1、两位数、三位数与一位数的除法及竖式的写法;(除不尽数位的处理,估算商的位数,0的计算规则,被除数中间和末位带0的情况,数位不够商1的处理,除法的验算,带括号除法的变号规则)

2、三位数与一位数的乘除混合运算;

3、两位数与两位数的乘法及竖式的写法;

4、轴对称图形;

5、平移和旋转。

四 千克、克、吨(常见质量单位及其换算,平常也称为重量单位)

1、引入质量单位千克、克的概念、表示方法(kg,g)和换算(1千克=1000克);

2、通过苹果、鸡蛋等生活中的常见物品让孩子体验1千克的重量;

3、通过硬币、别针等小重量物体让孩子体验1克的重量;——> 这时候孩子就会说,这么轻呀!哈哈

4、会给不同的物体匹配合适的质量单位;

5、比较不同重量的大小,并理解重量和体积大小没有绝对关系,如1千克的棉花和1千克的盐,虽然看起来棉花“多”一些,但其实它们的重量是相等的;——> 这里还可以趁机给孩子讲讲密度的概念,动手做做清水和浓盐水里面泡鸡蛋的实验 etc

6、引入质量单位吨的概念、表示方法(t)和换算(1吨=1000千克);

7、让孩子理解吨大概有多重(如大象);

8、在千克、克和吨之间进行换算练习;——> 曹冲称象的故事

9、中国的特色质量单位:斤(=500克)、两(=50克);

9、外国的特色质量单位,如英国的磅(pound)、盎司(ounce)等。

五 面积(面积的概念、单位)

1、在周长的基础上,引入面积的概念:物体的表面或封闭图形的大小;

2、区分周长和面积;

3、比较不同面积的大小;

4、用标准小方格来测量图形的面积;——>这个技能很有用,在后期计算图形面积的时候,可以通过切分均等面积的方法来对图形的总体面积进行灵活计算

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5、常见的面积单位:平方厘米、平方分米和平方米;

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6、让孩子体验1平方厘米、1平方分米和1平方米的面积分别有多大;

7、将1平方厘米和1平方分米作为面积单位来测量其他物体的面积,并比较大小;

8、长方形的面积计算方法:长 x 宽;

9、正方形的面积计算方法:边长 x 边长;

10、面积单位的换算:1平方分米=100平方厘米,1平方米=100平方分米;

——> 让孩子认识到,面积的单位遵从100进制(后期还会讲到,体积的单位遵从1000进制)

——> 如果孩子感兴趣,还可以顺便讲一下二维和三维,平面和立体的概念

11、通过下面这样的练习发现周长与面积之间的规律:周长不变的情况下,长与宽越接近,面积越大;(也就是说,在同样周长的情况下,正方形是面积最大的图形)——> 其实圆的面积会更大,但到这里还没有讲到圆,孩子此时知道这个就可以了,也可以试着给孩子讲一讲,如果孩子感兴趣,可以顺便把圆给介绍介绍

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数学好玩 (轴对称在图形设计中的应用,简单的推理)

1、设计艺术徽标(可以用到轴对称图形);

2、通过对租车和购物的不同方案列表,来理解简单的排列组合,及其能解决的数学问题;

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3、简单的推理:通过对信息的记录和整理,找出正确答案;——> 讲到这里可以顺便给孩子安利一下《大侦探福尔摩斯》(小学生版),孩子们都爱看的推理小说!哈哈哈

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【插播】
在奥数中也有推理题,一道简单的题目如下:

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推理题可以出得很复杂,对孩子的逻辑思维能力要求较高,但这类题目对孩子都是很好的思维训练。
【插播结束】

六 认识分数(分数的基本概念,大小比较,分母相同的分数加减法,1与分数的加减法,分母不同的分数的大小比较)——> 这个单元只是前菜,为五年级的分数学习打基础,后面那个才是正餐

1、引入分数的概念;(其实也是平均分的概念,跟除法是相通的,等孩子慢慢熟悉分数之后,可以将除法和分数的关系融合在一起来讲一讲,对于解出简算题和分数题都有很大帮助)

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2、分数的读法和元素(分子,分母,分数线);

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3、理解对分数来说“1”的意义,并非是一个统一的标准,可以是一个圆,一个正方形,一个长方形……

4、理解每一“份”是相等的,1/4指将1为4份,其中每一份的大小一样(依然是“平均分”的概念);

【插播】
孩子的脑回路跟成年人是不一样的,成年人会认为“平均分”很容易理解,但其实孩子会把“平均分”理解成下面左边图形的分法,并且在纠正多次之后才学会右边图形的分法。
所以千万不要用成年人眼中的“简单”去衡量孩子的学习,因为他们并不是缩小版的成人,而是跟我们完全不在同一世界的另一种可爱小动物。
【插播结束】

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5、让孩子理解分数就是“分母份中的分子份”,例如,3/4就是指4份中的3份,1/9就是指9份中的1份,以此类推;

6、理解每一“份”并不一定正好是一“个”,而可能是多个,例如对下面的5排小鸭子来说,每一份是指一排,即4只小鸭子;——> 小朋友非常容易在这一点上出错,需要多次练习,加深理解

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7、比较分数的大小:在分母相同的情况下,分子越大的分数越大;——> 为后面的通分运算打基础

8、理解当分子与分母相同时,这个分数就等于1,如5/5,6/6,都等于1;

9、分母相同的分数加减法:只需要将分子相加或相减,分母不变;

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10、1与分数的加减法,这里就要用到上面第8点的知识了,如1-1/4,可以转换成4/4-1/4,从而得出答案;

11、分母不同的分数的大小比较;——> 可以通过把糖果分给小朋友的例子来说明,在糖果数量不变的情况下,分的人越多,每个人分到的糖越少,也就是在分子不变的情况下,分母越大,分数的值越小

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12、用长方形纸制作七巧板,拼成一个正方形,并知道每个部分占正方形面积的几分之几。

七 数据的整理和表示(在二年级的基础上继续启蒙统计与概率,数据的调查、统计、记录和简单分析)

1、通过对同学们的鞋号、大家喜欢的动物进行记录,复习数据统计记录的方式(可以用符号如x,或汉字如正);

2、对统计数据进行查看分析,可以了解到很多信息:最大值,最小值,样本数量(在下图中就是x的数量),某个数据段的样本数等;——> 根据这些基本信息,在后期还可以计算平均值、方差等更加复杂的参数

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(三年级下册总复习

(对前三年的数学学习进行总体复习,内容较多)

数的认识

1、整数、小数、分数;

2、数位及其顺序(个十百千万);

3、比较数的大小;

4、简单的数列规律,找规律填数;

数的运算

1、四则运算:加减乘除(三位数、两位数和一位数之间的四则运算);

2、加减乘除竖式的写法;

3、小数的加减法和竖式写法(注意对齐小数点);

4、分数的加减法;

5、混合运算;

6、简单的排列组合(注意在枚举时用到有序思维);

常见的量

1、时间:分,秒,小时;

2、质量:千克,克,吨;

3、人民币:元,角,分;

4、日期:日,月,年;(闰年,平年,大月,小月)

图形的认识

1、立体图形:正方体,长方体,圆柱,球;

2、平面图形:长方形,正方形,三角形,平行四边形;

3、角:锐角,直角,钝角;

4、物体的三面视图;

图形与测量

1、长度单位:千米,米,分米,厘米,毫米;(十进制)

2、面积单位:平方米,平方分米,平方厘米;(百进制)

3、周长和面积;

4、长方形、正方形周长和面积的计算;

图形的运动

1、轴对称图形;

2、平移和旋转;

图形与位置

1、位置:上,下,前,后,左,右;

2、方向:东,南,西,北;

统计

1、“类”的概念和分类;

2、记录每一类的统计结果,整理和汇总;

3、从统计结果中有所发现(数据分析);

解题方法

1、读懂题目;

2、画图分析数量关系;

3、选择合适的方法进行列式计算;

4、验算。

四年级上册数学教材要点

一 认识更大的数(万级和亿级的数,大数的大小比较,精确数和近似数,四舍五入法,自然数)

1、万和十万的概念;

2、体验万和十万的量级(如400米跑道跑25圈(一万米)、2500个班级(约十万学生));

3、发现生活中的大数(如头发数量、地月距离、全球人口、国土面积等);

4、引入亿、十亿、百亿、千亿;

5、十进制数位顺序表:

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6、正确读出大数:先把数分级,再从最高一级的数开始读;

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7、比较大数的大小:

(1)先看位数,位数多的数比较大;

(2)位数相同的情况下,从高位开始比较;

例如,如果有一堆七位数和六位数要比较大小,可以分两步来做:

(1)先将所有的数分成两组,一组都是七位数,另一组都是六位数,第一组全部大于第二组;

(2)在第一组之内,从高位开始比较各个数的大小,按从大到小排序;

(3)在第二组之内,从高位开始比较各个数的大小,按从大到小排序;

(4)最后把第一组排好序的数字和第二组排好序的数字,按照先后顺序排好即可。

8、通过单位的转换来更简洁方便地表示大数:

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9、区分精确数和近似数(如约20万人,近2万平方米);

10、通过“四舍五入”的方法得到近似数;(注意跟四舍五入到哪一位有关系,如233482,如果四舍五入到万位,近似数为23万,但如果四舍五入到十万位,则近似数为20万)

11、近似数的表达符号“约等于”(≈);

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12、“自然数”的概念(注意0也是自然数);

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13、复习算盘上算珠对数的表示;

14、在十进制的基础上,简单介绍二进制(计算机)和六十进制(计时);

15、数字的排列组合;——> 奥数里也有这个类型的主题

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二 线与角(认识线段、射线和直线,理解相交、垂直、垂线和平行,角的度量单位和度量工具,量角器和三角尺的使用)

1、认识线段、射线和直线,并知道各自的特点和读法;

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2、用“两点之间线段最短”引入“距离”的概念:A,B两点之间的距离就是线段AB的长度;

3、理解“两点确定一条直线”;(也即过一点可以画出无数条直线)

4、直线的相交;——>这的难点是让孩子理解,直线可以无限延长,所以两条看上去不相交的直线,其实是相交的,像下面这个例子:

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5、直线的垂直,以及认识垂线:两条相交成直角的直线是互相垂直的;

6、理解一点到直线的距离,垂线最短;(走路去河边的例子)

7、平行的概念:在同一平面上不相交的两条直线是平行线;——> 注意强调“同一平面”,因为如果不在同一平面,不相交的两条直线也有可能不是平行线

8、学会用三角尺平移的方法画出一组平行线;

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9、认识平角(180°)和周角(360°);——> 孩子比较容易犯糊涂的是周角,因为看起来只有一条边,也不能直观看到“角”的存在

10、三角形的内角和:180°;

11、四边形的内角和:360°;——> 由此可以引申出,多边形的内角和公式为 (n-2) x 180°;

12、角的度量单位:度(°);(将圆平均分成360份,其中的1份所对应的角的大小叫作1度(记作1°));

13、角的度量工具:量角器;

14、学会使用量角器来测量角的大小;(先将角的顶点和量角器的中心点重合,再把零刻度线与角的一条边重合,然后读数)

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15、用量角器画出某个度数的角;

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16、学会用三角尺的组合应用来画出更多度数的角(如105°,15°);

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17、最近路径问题,也就是奥数中的“饮马问题”(下面的第(1)小题,需要用到对称性);

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把之前的饮马问题笔记贴一下:

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三 乘法(三位数与两位数的乘法,结果的估算,计算器的使用)——> 由于之前已经讲解了两位数与两位数的乘法,这一单元的内容大部分都是对之前知识的复用,内容比较简炼

1、引入三位数与两位数的乘法,及四种计算方法;

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2、复习乘法竖式;

3、估算乘法算式的结果;

4、了解计算器的功能;

5、用计算器来计算数字较大的四则混合运算;

6、找特殊算式的结果的规律,如1×1,11×11,111×111… 99×99,999×999,9999×9999…

整理与复习

1、大数(十万、百万、千万、亿、十亿);

2、近似数:大数的四舍五入(跟四舍五入到哪一位有关,如四舍五入到万位和四舍五入到亿位,结果可能不同);

3、角的分类:锐角,直角,钝角,平角,周角;角的度量单位(度(°));

4、量角器和三角板的组合运用;

5、直线的平行、相交与垂直;

6、三位数与两位数的乘法及竖式;

7、计算器的使用。

四 运算律(中括号的运算顺序,加法交换律,乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,乘法分配律)—–>非常重要的单元,在奥数的简便计算中,会大量高频用到本单元的知识,需要通过刻意练习让孩子灵活掌握

——>简算的常用方法是凑整和相消

1、复习运算优先级(三年级上册内容):先乘除,后加减,小括号优先;

2、引入新的运算符号:中括号[ ],运算时应当先算小括号,再算中括号;

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3、加法交换律:a+b=b+a,如4+6=6+4;

4、乘法交换律:axb=bxa,如3×5=5×3;

5、注意:减法和除法不满足交换律,如10-6=4,但6-10不等于4;12÷6=2,但6÷12不等于2;

——>这里如果孩子感兴趣,可以讲一下6-10和12÷6的计算方法,并讲解一下负数的概念(负数在本册的第七单元就会讲到,分数和小数则已经在三年级下册学过,复习一下即可)

6、加法结合律:(a+b)+c = a+(b+c),即三个数相加,先算前两个数相加或先算后两个数相加,其结果相同;

7、运用加法交换律和加法结合律,可以让计算变得更加简便:

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8、加法结合律的灵活应用:——> 注意这里孩子最容易出现的错误是,加上小括号以后没有把减号变成加号,可以顺便复习一下加上小括号以后减法和除法的变号规则。(加法和乘法加上小括号以后不变号)

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9、乘法结合律:(axb)xc = ax(bxc),即三个数相乘,先算前两个数相乘或先算后两个数相乘,其结果相同;

10、乘法结合律常用来凑整:

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11、裂项和乘法结合律的组合应用:如24×25,可以将24裂项为6×4,将算式转换为6x4x25=6x(4×25)进行凑整运算;

12、乘法分配律:(a+b)xc=axc,这个概念用文字描述起来孩子理解比较费劲。更好的办法是用图形表示,教材上也是这样做的:

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13、结合乘法分配率来理解多位数的乘法竖式:

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14、用乘法分配律来进行凑整简算,如206×14-6×14可以转换为(206-6)x14,72×99可以转换为72x(100-1)。

五 方向与位置 (在二年级下册方向与位置的基础上引入数对的概念,即坐标的概念)

1、复习东南西北方位的辨认;

2、引入数对的概念(其实就是坐标的概念,一个数字为横坐标,另一个数字为纵坐标),用于表示位置,格式为(a,b),如(2,4),表示第2列,第4行。注意这里默认第一个数字为列坐标(横坐标),第二个数字为行坐标(纵坐标)

六 除法(三位数和两位数的除法及竖式计算,试商,商不变的规律,速度和单价的计算方法)

  1. 引入三位数和两位数的除法;

2. 三位数与两位数除法的竖式计算;

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3. 被除数的百位和十位不够除情况的处理:将除数估为近似数进行试商,商大了把商往小调,商小了把商往大调;——> 这里又要复习之前第一次讲到余数时的一个规则:余数不能大于除数。如果发现余数大于除数,说明商小了,需要将商改大一点;

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4. 当计算结果也是两位数的时候,可能需要试商2次;

5. 商不变的规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(零除外),商不变,如8÷2=4,则80÷20=4;——> 这里可以顺便复习一下乘法里面,乘数扩大时对积的影响

6. 用商不变的规律来进行简便计算,如400÷25,可以转换为(400×4)÷(25×4)=1600÷100=16;

7. 速度的计算方法:速度=路程÷时间;——> 可以顺便讲一下路程=速度x时间,时间=路程÷速度;

8. 单价的计算方法:单价=总价÷数量;——>可以顺便讲一下总价=单价x数量,数量=总价÷单价;

9. 第一宇宙速度:7.9千米/秒。

七 生活中的负数(理解正数和负数的概念及大小的比较)

  1. 通过温度计来理解正数和负数的概念;——>这里可以顺便给孩子科普一下水银温度计的工作原理(热胀冷缩),从而让孩子明白温度计靠上的数字比靠下的数字大,比如+2度高于-4度,-2度也高于-4度。我家孩子学校老师就没有讲解这些基础知识,导致孩子在一开始总是弄不明白上下数字的大小

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2. 再用其他例子来加深对正负数的理解,如高于/低于海平面,答对加分答错扣分,存折的收入和支出记录等;

3. 整数、正数和负数(0既不是正数,也不是负数)。

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数学好玩 (测算水龙头的漏水量,编码,数线段)

1、设计实验并通过合理计算来测量水龙头的漏水量;

2、填写简单的实验报告(实验数据、计算过程与结论);

3、节约用水;

4、了解编码的概念:认识身份证和银行卡,知道身份证号码和银行卡号码的含义;——> 这点对成年人来说也是个科普

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5、数线段的两种方法;——>数线段、数角、数三角形、数矩形是奥数中的一个主题

1)第一种方法:按照线段的长度来数

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2)第二种方法(也叫“打枪法”):按照线段的起点来数

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从而归纳出线段数的公式:设线段有n个端点,则总共的线段数为 (n-1)+(n-2)+(n-3)+…+1。

例如上图的线段有4个端点,则总共的线段数为3+2+1=6条。

八 可能性(概率初步)(可能性的概念,三种可能性的情况一定,可能,不可能,可能性的大小)

1、用掷硬币猜正反面、猜天气、摸球游泳等生活中的例子,引出可能性的概念;

2、理解可能性的三种情况:一定,可能,不可能;——>即概率分别为100%,介于1%-100%,0%

3、理解在“可能”的情况下,可能性也是有大有小的;(例如一个盒子里面有1个白球5个红球,另一个盒子里面有5个白球1个红球,那么在第二个盒子里面摸到白球的可能性更大)

4、用可能性来理解生活中游戏转盘和抽奖的设计原理。

(四年级上册总复习)

数与代数

1、整理到目前为止学过的数的种类:

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2、大数的读法和近似数(按某个数位进行四舍五入);

3、用乘法分配律进行简算;(如89×5=(80+9)x5)

4、用除法中商不变的规律进行简算(被除数和除数同时乘或除以相同的数(零除外),商不变);

如:

225÷25=(225×4)÷(25×4)

780÷30=78÷3=26

5、复习运算顺序(先乘除后加减,有小括号先算小括号,同时有小括号和中括号时先算小括号,再算中括号,最后算其他)

6、复习运算律:加法交换律,乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,乘法分配律;

7、速度、时间和路程之间的关系;

图形与几何

1、直线的平行与垂直;

2、角的类型(锐角,直角,钝角)和测量(量角器,度);

统计与概率

1、理解可能性和不确定性;

2、理解可能性的大小;——>即概率的大小

3、用数对来表示位置。——>即坐标的概念,注意默认第一个数字为列坐标(横坐标)

四年级下册数学教材要点

一 小数的意义和加减法(小数的概念,分数与小数的转换关系,十分位、百分位和千分位,小数末尾的0,比较小数的大小,小数的加减法,小数加减混合运算的运算顺序)

1、用元角分引入小数的概念,如1.11元的意思就是1元1角1分,其中1角是1元的1/10,也可以写成0.1元,1分是1元的1/100,也可以写成0.01元;

2、用小数的概念来理解1.11米,也就是1米1分米1厘米,其中1分米是1米的1/10,也可以写成0.1米,1厘米是1蜜的1/100,也可以写成0.01米;

3、理解分数与小数之间的转换关系:把1平均分成10份,其中的1份是1/10,也可以表示为0.1;把1平均分成100份,其中的1份是1/100,也可以表示为0.01;

同理,

把1平均分成10份,其中的3份是3/10,也可以表示为0.3;

把1平均分成100份,其中的3份是3/100,也可以表示为0.03;

4、用同样的方法来理解“千分之”的概念:把1平均分成1000份,其中的1份是1/1000,也可以表示为0.001;

5、理解1克=0.001千克;

6、理解1分钟=1/60小时;(所以0.3小时应该等于18分钟,而不是3分钟)——>60进制与10进制的区别

7、引入十分位、百分位和千分位:

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8、了解小数的计数单位也是满十进一的,如10个0.1元(1角)是1元,10个0.01元(1分)是0.1元(1角);

9、了解小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变,如5=5.00,0.6=0.60;

10、比较小数的大小:先比较十分位上的数,再依次比较百分位、千分位上的数,如0.8>0.69;

11、小数的加减法:相同数位上的数相加减,只要小数点对齐,其他就与整数加减法一样;

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12、竖式中小数的进位和借位也与整数加减法一样,如2.4+1.7=4.1,6.0-2.4=3.6;

13、小数加减混合运算的运算顺序与整数相同(先乘除后加减,有小括号先算小括号,同时有小括号和中括号时先算小括号,再算中括号,最后算其他)。

二 认识三角形和四边形(三角形的分类,特殊三角形(等腰/等边),三角形和四边形的内角和,三角形边的关系,四边形的分类)

1、复习之前学过的图形概念:平面图形(三角形,四边形(正方形,长方形,平行四边形),圆形),立体图形(正方体,长方体,圆柱体,球体);

2、三角形具有稳定性而四边形不具备,三角形和半球形是“最坚固”的图形,常见于建筑结构中;

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3、三角形的分类:直角三角形,钝角三角形,锐角三角形;

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4、特殊三角形:等腰三角形和等边三角形,其中等边三角形又是特殊的等腰三角形;

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5、通过把三个角剪下来拼在一起的方法,让孩子理解三角形的内角和是180°;——>非常重要的知识点,在各种几何题中都会大量用到,例如已知一个三角形的第一个角为60°,第二个角为40°,则第三个角一定为180°-60°-40°=80°;

6、学会标记内角及度数(角的符号是∠):

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7、四边形的内角和为360度;——>可以顺便拓展一下,n边形的内角和是多少呢?(n-2)x180°,因为在n个顶点中,每个顶点除了不能与自己相邻的两个顶点构成三角形,可以与其他所有顶点构成三角形,每个三角形的内角和为180°,则n边形的内角和为所有构成的三角形内角和之和,即n-2个180°

【插播】
这是四年级迎春杯的一道真题(初选试题),跟内角、外角相关,感兴趣的家长可以解一下试试,感受一下从一个最基础的知识点可以延伸出的奥数题目难度:

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【插播完毕】

8、三角形边的关系:任意两边之和大于第三边;——>又是一个非常重要的知识点,可以复习一下上面四年级上册第二单元提到的饮马问题,就用到了这个知识点

9、四边形的分类:四边形可以分为平行四边形和梯形两大类。其中正方形、长方形是特殊的平行四边形,而正方形又是特殊的长方形。

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三 小数乘法(小数与整数的乘法,小数与小数的乘法,小数点右移或左移对数大小的影响,乘数的小数位数与积的小数位数之间的关系,小数与小数的乘法竖式计算方法)

1、引入小数乘法,用将小数分解为0.1的方法进行计算,如4个0.2就是8个0.1=0.8,3个0.4就是12个0.1=1.2;

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2、小数点搬家:一个数的小数点向右移动一位,得到的数是它的10倍,移动两位,得到的数是它的100倍,以此类推;

如0.01元(1分)的小数点向右移动一位,得到0.10元(1角),是1分的10倍;

再向右移动一位,得到1.00元,是1分的100倍;

反之,一个数的小数点向左移动一位,得到的数是它的1/10,移动两位,得到的数是它的1/100,以此类推;

3、在理解小数点搬家的基础上,计算小数与整数的乘法,如0.5×10,就相当于把5个0.1变成5个1,;

4、通过面积的计算来理解小数与小数的乘法,如0.3米x0.2米=3分米x2分米=6平方分米=0.06平方米,即0.3×0.2=0.06,而不是0.6;

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5、理解乘数的小数位数与积的小数位数之间的关系:积的小数位数等于各个乘数的小数位数之和;

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6、从而引出小数与小数的乘法竖式计算方法:先将小数按照整数进行竖式计算,然后确定积的小数位数并加上小数点,如2.6×0.8,可以先计算26×8=208,再确定积的小数位数为2位,加上小数点后积为2.08;

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7、积的小数点后的末尾0可以去掉,如2.4×0.85,积为2.040,可以将最后一个0去掉,写成2.04即可;

8、小数计算中的一类常见错误,这里的图形化解释非常通俗易懂,在给孩子讲解乘法类问题时都可以借鉴;

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1.2×1.25是否等于1×1+0.2×0.25?通过图形可以看出少算了2块。

实际上正确的算式应当为(1+0.2)x(1+0.25)=1×1+1×0.25+0.2×1+0.2×0.25=1.5,即(a+b)x(c+d)类型的乘法分配律,孩子到这里只学过(a+b)x c类型的乘法分配律,所以会算错;

下面这个是正确的计算(2.7×1.3):

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9、之前学过的运算顺序和运算律对小数加法也适用。

整理与复习(小数与三角形)

1、理解小数的意义(1.2就是1个1和2个0.1);

2、三角形的分类(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形);

3、各种三角形的内角和都为180°;

4、三角形任意两边之和大于第三边;

5、小数加减法:将小数点对齐进行计算;

6、小数乘法:按整数乘法计算,积的小数位数是两个乘数小数位数之和。

四 观察物体(组合立方体的三面视图,同一视图对应的多个组合立方体)

1、复习物体的三面视图(正面,右面,上面);

2、组合立方体的三面视图;——>奥数中的一个主题

3、理解同样的视图形状可以对应多个不同的组合立方体,例如下图中的A图,理论上可以对应无限个叠加的单个正方体,需要在题干中限定正方体的个数,才能给出限定个数的组合立方体;

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4、要通过三面视图推演出组合立方体的形状,需要一个面、一个面地进行有序观察,逐步调整或排除,如下面的这个三面视图,先从正面看,有四种可能性,再从右面看,可以排除其中2个,最后从上面看,又可以排除1个,这样最后剩下的1个就是正确的组合立方体了。

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五 认识方程 (用字母来表示数,等量关系,方程的概念,解加减法方程和乘除法方程的思路,列方程)

——> Oh,王炸级别的技能来了!鸡兔同笼终于可以有新解法了~

1、用字母来表示数,常用字母 a, x ,n;

如a只青蛙a张嘴,2xa只眼睛,4xa条腿;或x只青蛙x张嘴,2xx只眼睛,4xx条腿;

又如淘气今年n岁,妈妈比淘气大26岁,则妈妈今年的年龄为(n+26)岁;

2、用字母来表示正方形的周长C:C=4 x a;

其中4xa可以简写为4•a或4a,数字一般写在字母前面,意思是4个a相加(乘法的本质是加法),我家孩子在学奥数的时候一开始总是搞不懂2a是什么意思,她会理解成2a就是2+a,3a就是3+a,抓狂……

3、用字母来表示正方形的面积S:S=a x a;

其中a x a也可以写作a²,读作“a的平方”;——> 孩子一开始可能会读成“a二”,纠正一下就好了

所以厘米²就是平方厘米;

4、等量关系:1只鹅的质量相当于2只鸭子和1只鸡的质量,这就是等量关系;上面提到的C=4 x a,S=a x a,都是等量关系;

5、之前学到过的其他等量关系:速度x时间=路程,单价x数量=总价;

6、方程的概念:含有未知数的等式叫做方程;

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【插播】
原来未知数这个概念是丢番图提出来的,上个周末去科学中心看了一个数学具象实验的展览,里面正好提到了丢番图,我还拍了一张照片,这也太巧了吧!缘分啊缘分

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【插播完毕】

7、解加减法方程的思路:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立;

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8、解乘除法方程的思路:等式两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立;

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9、学会列方程,如一个数先乘以2,再加上20,结果等于80,列式为:

2x + 20 = 80

2x = 60

x = 30

注意等号的两边要始终保持相等,如果写成下面这样就不对了:

2x + 20 = 80

= 60

x = 30

数学好玩(密铺图形,奥运中的数学,优化)

1、密铺:图形之间没有空隙也不重叠,叫做密铺;

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2、思考三角形和四边形是否可以密铺,观察什么样的图形可以密铺,什么用的图形不可以;

【插播】
教材上只提出了问题,但没有给出答案,我在网上找了一下,说明如下:
公共顶点处的内角和正好为360°的图形可以密铺,不满足这个条件的图形不可以密铺(如圆形、正五边形);

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密铺的规律是:
1)任意三角形、任意凸四边形都可以密铺;
2)正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺,其他正多边形都无法密铺;——> 蜂巢就是典型的正六边形密铺

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3)三对对应边平行的六边形可以单独密铺;
4)目前仅发现十五类五边形能密铺;

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【插播完毕】

3、通过奥运中的数学来理解小数的加减法,如田径比赛成绩(12.91秒),跳水比赛得分(96.90分),射击比赛成绩(10.4环)等;

4、优化:通过对多件事情进行统筹规划来节约总体时间,如烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶,烙饼的时候同时烙两张等。

六 数据的表示和分析(条形统计图,折线统计图,平均数的概念和计算)

1、通过统计同学的生日来引入条形统计图(教材上只给出了空格子,我自己画了条形,仅为示例,凑合看哈);——> 这个是横向条形图

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2、再通过统计大家最喜欢的电视节目来引入另一种条形统计图;——>这个是纵向条形图

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3、让孩子理解统计图表中的“1格”可以表示1个单位,也可以表示多个单位,比如1格可以设置为1厘米,也可以设置为2厘米、3厘米……这样就可以在有限的图表中,表示更大的数;

4、通过记录蒜苗的高度来引入折线统计图,并理解线越“陡”的地方蒜苗生长得越快;

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5、平均数的概念:一组数据平均水平的代表;

6、平均数的计算方法:一组数据的总和÷样本数,如有5个样本,值分别为5,4,7,5,9,则这组数据的平均数为(5+4+7+5+9)÷5=6。

(四年级下册总复习)

数与代数

1、小数的意义;

2、小数、整数与分数之间的关系;

3、小数的加减法和乘法;(注意在竖式中需要将小数点对齐进行计算)

4、在小数乘法中,积的小数位数与乘数的小数位数的关系;

5、用字母来表示未知数;

6、理解等量关系和方程;

图形与几何

1、组合立体图形的三面视图(正面、上面、右面);

2、三角形的分类(锐角三角形(含等边三角形和等腰三角形,其中等边三角形又是特殊的等腰三角形),直角三角形,钝角三角形);

3、三角形的内角和是180°;

统计与概率

1、条形统计图和折线统计图;

2、平均数的概念和计算。

五年级上册数学教材要点

一 小数除法(被除数为小数除数为整数的除法,小数除法的竖式,十分位有余数的情况处理,整数部分不够除的情况处理,被除数和除数都为小数的除法(商不变的规律),人民币的兑换,小数的四舍五入,循环小数和循环节,小数混合运算的顺序)——> 这一章内容相当多,计算容易出错,需要慢慢消化

1、被除数为小数、除数为整数的除法,及两种计算方式(如11.5÷5);

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【插播】
上面的第二种方法用到了除法的左分配律,即(a+b)÷c=a÷c+b÷c,如:
(10+1.5)÷5
=10÷5+1.5÷5
=2+0.3
=2.3
注意该分配律只对被除数起作用(所以叫左分配率),对除数不起作用,如下面这个计算是不成立的:
10÷(4+1)
=10÷4+10÷1
=2.5+10
=12.5 (正确结果应为2,计算错误)
为了避免孩子产生混淆,一般会告诉他们除法没有分配律。
【插播完毕】

2、小数除法的竖式计算(计算顺序跟整数除法一样也是从高位到低位,从整数数位到小数数位,注意商的小数点与被除数的小数点要对齐);

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3、当十分位有余数的时候,可以继续在百分位添0进行计算,即商的小数位数可以多于被除数或除数,如18.9÷6=3.15;

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4、上面的算法可以解决之前学习除法时有些算式无法整除的问题,如26÷4,之前只能解为

26÷4=6…2

现在则可以进阶解为:

26÷4=6.5

5、整数部分不够除的情况下,需要在个位商0,并加上小数点,然后从十分位开始添0计算,十分位有余数的情况下,继续在百分位添0计算,如18÷24,应当解为:

18÷24=0.75

其中整数部分不够除,个位商0,加小数点,十分位添0,计算180÷24=7…12,百分位再添0,计算120÷24=5,合并在一起的商即为0.75;

6、被除数和除数都为小数的除法,可以用四年级学过的除法中商不变的规律来进行计算(即被除数、除数同时扩大到原数的10倍,商不变),如:

5.1÷0.3

=(5.1×10)÷(0.3×10)

=51÷3

=17

这里用小数的意义来理解也可以:0.3是3个0.1,5.1是51个0.1,51个0.1除以3个0.1得到17;

需要注意的是被除数和除数一定要扩大相同的倍数,如5.28÷1.2,应当等于52.8÷12(同时扩大10倍),而不是528÷12(被除数扩大了100倍,除数扩大了10倍,这种情况商会扩大10倍,从4.4扩大到44);

7、理解人民币的兑换:在已知其他货币兑换人民币的汇率的情况下,从其他货币兑换成人民币用乘法,从人民币兑换成其他货币用除法,如:

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在上述汇率的情况下,

6.70美元可兑换的人民币为:6.31×6.7=42.277≈42.28(元);

5000人民币可兑换的港元为:5000÷0.81≈6172.84(元);

5000人民币可兑换的日元为:5000÷(7.89÷100)≈63371.36(日元)——>即先计算出1日元兑换0.0789人民币,再计算5000人民币能兑换多少日元;

8、小数的四舍五入:计算结果通常保留两位小数,即四舍五入到百分位,如42.277≈42.28;

9、循环小数:类似73÷3的结果(24.333…)或9.4÷11的结果(0.85454…)都是循环小数,其中小数部分依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节;——>如果商为循环小数,可以根据需要进行四舍五入取近似值

10、循环小数可以只写一个循环节,并在首位和末位上各点一个圆点来表示,如:

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则上面的24.333…可以写作24.3(3上面加点),0.85454…可以写作0.854(54上面加点);

11、小数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样。——>整数的运算顺序见三年级第一单元 混合运算

二 轴对称和平移(轴对称的概念,平移的概念,轴对称和平移在设计中的应用)

1、什么是轴对称图形:沿一条直线对折,两边图形可以完全重合的图形。这条直线叫做这个图形的对称轴;

2、根据图形的一半和对称轴,补充出整个图形;

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3、平移:在同一平面内,将一个图形按照某个方向做直线移动。平移不改变图形的形状和大小;

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4、轴对称和平移在设计中的应用:

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三 倍数与因数(倍数和因数的概念,偶数和奇数的概念,偶数与奇数相加和为奇数,2、5的倍数的特征,3的倍数的特征,9的倍数的特征,找到一个数的全部因数,质数与合数的概念,哥德巴赫猜想,埃拉托斯特尼筛法)

1、理解倍数和因数的概念:9×4=36,36是9和4的倍数,9和4是36的因数;——> 此时只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数

2、偶数和奇数的概念:

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3、2、5的倍数的特征:个位上为0的整数既是2的倍数也是5的倍数;——>这其实就是公倍数 ——>0也既是2的倍数也是5的倍数。实际上,0是任何非零自然数的倍数,且0的所有倍数都是0

4、偶数与奇数相加,和为奇数(如8+13=21);

5、3的倍数的特征:如果一个数各个数位上的数字之和为3的倍数,则这个数是3的倍数,如12(1+2=3)、27(2+7=9);

【插播】
为什么一个数各个数位上的数字之和为3的倍数,则这个数是3的倍数呢?
假设一个三位数 x =ax100+bx10+c,则,

x =ax(99+1)+bx(9+1)+c
x =99a+a+9b+b+c
x =99a+9b+(a+b+c)

其中99a+99b可以被3整除,那么只要a+b+c可以被3整除,则这个数可以被3整除,即3的倍数;
【插播完毕】

6、9的倍数的特征:如果一个数各个数位上的数字之和为9的倍数,则这个数是9的倍数,如18(1+8=9)、27(2+7=9);——> 可以让孩子试着用上面3的倍数的证明方法来证明一下9的倍数

7、用“拼长方形”的方法来理解如何找因数,同样面积的长方形可以拼成不同的边长,这些边长都是面积的因数,如12个小正方形,可以拼成1×12, 2×6, 3×4等,则1、2、3、4、12都是12的因数,所以只要找到哪两个数相乘等于某个数,则这些数都为这个数的因数;

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8、质数与合数的概念:

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9、注意1既不是质数,也不是合数;——> 这里可以顺便复习一下0既不是正数,也不是负数;

10、任何一个大于1的整数,要么是一个质数,要么是若干个质数的乘积;

例如:12=2x2x3,30=2x3x5

所以质数被称为自然数的“数根”,在数学领域和密码技术中起着关键作用(密码体制的安全性就是建立在整数的素因子很难分解上);

11、哥德巴赫猜想;

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12、埃拉托斯特尼筛法(简称埃氏筛,也称素数筛,是列出所有小素数最有效的方法之一,其名字来自于古希腊数学家埃拉托斯特尼),所使用的原理是从2开始,将每个素数的各个倍数,标记成合数,最后剩下的就是质数。

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整理与复习

1、小数除法及竖式;

2、循环小数;

3、轴对称图形;

4、倍数与因数,质数与合数。

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四 多边形的面积(出入相补,图形的底和高,梯形/平行四边形/三角形的底和高,平行四边形/三角形的面积,等底等高的三角形面积相等,梯形面积的三种转换方法,平行四边形内部的三角形面积与平行四边形的面积关系)

1、图形的“出入相补”原理,如下图,图形9与图形10的面积相等;

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2、梯形、平行四边形、三角形的底和高:从一个顶点向底引出的、与底垂直的线段就是高;

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3、平行四边形的面积:通过出入相补将平行四边形转换为长方形,从而得出其面积 S = 长x宽 = 底x高 = a x h;

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4、三角形的面积:通过将三角形转换为平行四边形的一半,从而得出其面积 S = 底x高÷2 = a x h ÷ 2;

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5、等底等高的三角形面积相等;——>非常重要的知识点,在后期的几何问题中会经常用到

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【插播】
正好最近做了一道相关的几何题,用到了这个知识点,贴到这里来;
下面这个正方形被分成了4部分,其中3部分的面积已知,如何求问号部分的面积呢?

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解题的时候并不需要进行具体的计算,利用等底等高三角形面积相等这个知识点,就可以把问号部分的面积“凑”出来:

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因为同底等高三角形面积相等,所以(1)=(8),(2)=(3),(4)=(5),(6)=(7);
问号部分的面积=(5)+(6)=(4)+(7);
而(4)+(7)=(16+32)- (3)-(8)=48- (2)-(1)=48- [(2)+(1)]=48-20=28(cm²);
所以问号部分的面积为28cm²。
【插播完毕】

6、梯形的面积:(上底为a,下底为b)

方法一:将梯形转换为平行四边形的一半,从而得出其面积 S = (上底+下底) x 高 ÷ 2 = (a+b) x h ÷ 2;

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方法二:将梯形按照垂直方向一半的高度拆分为平行四边形,从而得出其面积 S = (上底+下底)x (高 ÷ 2) = (a+b) x (h ÷ 2);

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方法三:将梯形按照上底和下底切割为两个三角形,则下方三角形面积为b x h ÷ 2,上方三角形面积为 a x h ÷ 2,二者相加为( a x h ÷ 2)+(b x h ÷ 2) = (a+b) x h ÷ 2;

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——>虽然算式不同,但这三种方法得到的结果都是相同的;

7、以一边为底、对边上某一点为顶的三角形面积为平行四边形的一半,如下面两个图中的蓝色区域面积相等,都为平行四边形面积的一半;(三角形面积=a x h ÷ 2,平行四边形面积=a x h)

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——>这也是一个重要的知识点,在最近看过的一道题里面正好出现过;

【插播】
这道题里面要求阴影部分的面积:

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作者使用了切割的方法,将长方形分为四个角上的4个三角形,和中间的一个平行四边形,平行四边形内部又被分成了3个三角形,阴影部分的面积为(1)+(2)+(3)+(4);

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此时根据上面讲到的第7点知识点,可知(2)+(3)的面积为平行四边形面积的一半,四个角的4个三角形分别都已知底和高,可以计算出面积,用长方形面积减去这4个三角形的面积,就能得到平行四边形的面积S,然后得到阴影部分的总面积为:(1)+(4)+ S÷ 2;
原文链接如下,感兴趣的可以去看看:(感谢原作者的详细讲解)

【插播完毕】

五 分数的意义(分数单位,带分数,真分数和假分数,假分数和带分数的互化,分数与除法的关系,分数的基本性质,最大公因数,约分和最简分数,最小公倍数,用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数,通分)

——>(这一章是在三年级下册分数概念的基础上进行进阶学习,内容多,复杂度高,对后续计算影响大,重要性很高)

1、复习分数的意义:

图片[189]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

2、理解相同的分数不一定对应相同的数,如你和我都拿出自己铅笔的1/2,数量可能是不同的;

3、通过“分数墙”来理解分数单位:

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4、带分数的概念:类似于 1 \frac{1}{4} 这样的分数叫做带分数(即整数与真分数合成的数),读作一又四分之一;

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5、真分数和假分数:

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——> 真分数都小于1,假分数都等于1或大于1;

6、分数与除法的关系:

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7、假分数与带分数的互化:

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8、分数的基本性质:观察 \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}\frac{8}{12} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ,可以发现分数的基本性质;

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9、最大公因数:

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10、约分:把一个分数的分子、分母同时除以公因数叫做约分,直接约去分子、分母的最大公因数,则可以直接得到最简分数;

图片[197]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

11、最小公倍数:几个数相同的倍数是它们的公倍数,其中最小的一个是它们的最小公倍数;

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12、用短除法求两个数的最大公因数(也叫最大公约数):其方法是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质),此时所有除数的乘积即为最大公约数;——> a和b的最大公约数一般记为 (a, b)

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13、用短除法求两个数的最小公倍数:把上面短除法中所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数;——> a和b的最小公倍数一般记为 [a, b]

14、通分:把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,这个过程叫做通分。例如要比较 \frac{2}{7}\frac{1}{6} 的大小时,可以通过通分来进行比较:

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——> 一般用两个数分母的最小公倍数来作为通分的分母

六 组合图形的面积 (用拆(相加)或补(相减)的方法计算组合图形的面积,公顷和平方千米)

1、用拆或补的方法来计算组合图形的面积,如下面这个组合图形,可以拆成上下两个小长方形的面积相加,或者在右上角补上一个小的正方形,使它成为一个大的长方形,再用大长方形的面积减去小正方形的面积;

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2、更多的拆法:还可以拆成长方形+正方形,或两个梯形;

图片[202]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

3、公顷和平方千米(km²):边长为100m的正方形面积是1公顷(即10000m²),边长为1000m的正方形面积是1km²。

数学好玩

1、设计秋游方案:对交通、门票、用餐等数据信息进行搜集,并进行时间规划、路线规划和费用规划。

2、图形中的规律:用小棒摆三角形的规律(摆n个三角形需要用到的小棒数目是n = 3+ (n-1)x 2根),点阵中的规律(等差数列,对称数列);

3、鸡兔同笼问题;——> 奥数三年级的题,在课内教材到五年级才出现……

4、鸡兔同笼问题的变种:硬币问题。

七 可能性(“公平”的游戏规则)

1、“公平”的概念:可能性一样大(即概率相等);

2、设计对双方都公平的游戏规则;

3、玩不同的概率游戏:抛瓶盖、抛棋子、摸球、抽牌等;

(五年级上册总复习)—— 在这一册里分数和几何是绝对的王者

数与代数

1、因数与倍数;

2、最大公因数与最小公倍数;

3、小数除法及竖式;

4、分数:分数单位,带分数,真分数和假分数,假分数和带分数的互化,分数与除法的关系,分数的基本性质,最大公因数,约分和最简分数,最小公倍数,用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数,通分;

图形与几何

1、轴对称图形;

2、平面图形面积公式的推导;——>(从长方形推导出平行四边形、再从平行四边形推导出三角形和梯形的面积公式)

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3、组合图形的面积计算(拆(相加)和补(相减));

统计与概率

设计对双方都公平的游戏规则。

五年级下册数学教材要点

一 分数加减法(通分计算分数加减法,分数混合运算,分数与小数的比较)

1、用通分的方法来计算分数的加减法,将分母不同的分数化成分母相同的分数,如:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

\frac{1}{2}\frac{1}{4} = \frac{2}{4}\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

2、计算规则:用最小公倍数做公共分母,并对计算结果进行约分;

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3、分数混合运算的运算顺序与整数一样;

4、分数与小数的比较:将分数化成小数,或将小数化成分数来进行比较。

二 长方体(一)(长方体和正方体的面、棱和顶点,正方体是特殊的长方体,立体图形的展开图,长方体的表面积,组合立方体露在外面的表面积)

1、认识长方体和正方体的面、棱和顶点;(都有6个面、12条棱和8个顶点)

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2、正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体;

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3、长方体和正方体的展开图,判断哪些展开图折叠后能围成长方体或正方体;

【插播】
正方体一共有11种展开图,分别为141型,132型,222型和33型。

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【插播完毕】

4、长方体的表面积:指长方体6个面的面积之和(相对的面的面积相等);

5、露在外面的面(可以看见的表面积);

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6、组合立方体的表面积;(注意相接的面“消失”了,如下图,将4个小正方体拼成1个长方体之后,中间相接的6个面“消失了”,在计算表面积的时候需要减去这6个面)

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三 分数乘法(分数与整数的乘法,计算过程中能约分的先约分,分数与分数的乘法,乘数与积的规律,倒数)

1、用分数加法来理解分数乘法,如 \frac{1}{5} x 3就是3个\frac{1}{5}相加,等于\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}= \frac{1+1+1}{5} =\frac{3}{5}

2、分数与整数相乘的计算方法:分子和整数相乘,分母不变,如 \frac{5}{16} x 3 = \frac{5\times3}{16} = \frac{15}{16}

3、计算过程中可以提前约分,简化计算,不需要等到最后的商才约分:

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4、分数乘法中的“多”和“少”,如女生植树20棵,男生植树的棵数比女生多 \frac{1}{4} ,则男生植树的棵数应当为20+20 x \frac{1}{4}= 20 x (1+\frac{1}{4}) = 25 (棵);

5、理解分数与分数的乘法,如\frac{3}{4} x \frac{1}{4} = \frac{3\times1}{4\times4}=\frac{3}{16};

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6、分数与分数乘法的计算方法:分子乘分子,分母乘分母,能约分的先约分;

7、乘数与积的规律:一个数如果乘一个小于1的分数,积小于这个数,一个数如果乘一个大于1的分数,积大于这个数;

8、倒(dào)数:乘积为1的两个数互为倒数,如 \frac{2}{3}\frac{3}{2},2与\frac{1}{2},1的倒数是它本身,0没有倒数。

四 长方体(二)(体积和容积的概念,常见的体积单位,常见的容积单位,长方体的体积,正方体的体积,底面积与体积的关系,体积单位的换算,长度/面积/体积相邻两个单位间的进率,用水来测量物体体积的方法(阿基米德测量皇冠体积的故事)

1、体积的概念:物体所占空间的大小;

2、容积的概念:容器所能容纳物体的体积;

3、常见的体积单位:

1立方厘米(cm³):棱长为1厘米的正方体的体积

1立方分米(dm³):棱长为1分米的正方体的体积

1立方米(m³):棱长为1米的正方体的体积

4、常见的容积单位:

1毫升(mL):棱长为1厘米的正方体的容积

1升(L):棱长为1分米的正方体的容积

5、长方体的体积公式:V = a x b x h = abh;

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6、正方体的体积公式:V = 棱长 x 棱长 x 棱长=a x a x a = a³;

7、底面积与体积的关系:长方体(正方体)的体积 V = 底面积 x 高 = S x h =Sh;

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8、体积单位的换算:1dm³ = 1000cm³,1m³ = 1000dm³;

9、学到这里可以知道,长度/面积/体积相邻两个单位间的进率是递增的:

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10、用水来测量物体的体积:

方法一:(未满水的情况)根据物体放入前后水平升高了多少来推算物体的体积

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方法二:(满水的情况)根据物体放入后溢出了多少水来推算物体的体积

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——> 需要注意的是,物体需要浸入水中,即水要没过物体才行,漂浮在水面上无法测量出准确的体积

——>这个方法的来源是阿基米德测量皇冠体积的故事,即如何鉴定纯金的皇冠里面是否掺有银子

整理与复习

1、分数加减法(通分),分数与除法的关系,分数与小数的转化;

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2、长方体/正方体的顶点、面、棱、表面积和体积;

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3、分数与整数的乘法(分母不变,分子与整数相乘),分数与分数的乘法(分母与分母相乘,分子与分子相乘)。

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五 分数除法(被除数是分数、除数是整数的除法,用方程解决分数问题,被除数是整数、除数是分数的除法)

1、被除数是分数、除数是整数的除法:除以一个不为零的整数,相当于乘这个整数的倒数;

\frac{4}{7} ÷3 = \frac{4}{7} x \frac{1}{3} = \frac{4}{21}

当分子可以被除数整除时,可以分母不变,分子直接除以除数:

\frac{4}{7} ÷2 = \frac{4\div2}{7} = \frac{2}{7}

——> 在计算过程中,能约分的还是先约分

补充:带余数的分数除法如何计算

2、用方程来解决分数问题,如6名同学在跳绳,是总人数的\frac{2}{9},求总人数,这个问题可以列方程为:

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3、被除数是整数、除数是分数的除法:在上面的例子里面,用被除数乘除数的倒数,并进行约分计算,即可得到结果。

六 确定位置(用方向+角度的方式来表示地理位置)

1、用方向+角度的方式来表示地理位置,如北偏西60°,南偏东30°;

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——> 地理学上在确认方向时多采用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西的说法,例如北偏东50°,不要写成东偏北40°

——> 可以顺便给孩子讲一下,绘制地图的时候,惯例是按照上北下南左西右东的方向来制图的

七 用方程解决问题(根据问题中的等量关系列方程,用方程解决相遇问题)

1、姐姐的邮票张数是弟弟的3倍,姐姐和弟弟一共有180张邮票,这个问题可以找等量关系如下:

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根据等量关系列式并计算如下:

x + 3x = 180

4x = 180

x = 45(张)——> 弟弟的邮票张数

3x = 3 x 45 = 135(张)——> 姐姐的邮票张数

2、相遇问题:复习四年级上册学过的基本知识 路程 = 速度 x 时间,并用方程的思想来解决这类问题;

如两人相距840m,一人速度为70米/分,另一人速度为50米/分,问二人出发后多长时间相遇?

设出发后x分相遇,可以列方程如下:

70x + 50x = 840

120x = 840

x = 7(分)

数学好玩

1、设计一个“跑向北京”的象征性长跑活动:

  • 调查到北京的距离、途经城市、每人每天跑的路程等信息;
  • 设计记录表,将需要收集的数据记录下来;
  • 确定主题,并形成活动方案。

2、有趣的折叠:立体图形的平面展开图;

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3、包装的学问:探索对同样数量的商品来说,选用哪种方法更节省包装纸(表面积最小)。

八 数据的表示和分析(复式条形统计图,复式折线统计图,平均数的再认识)

1、复式条形统计图:有两个及以上的条形;

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2、复式折线统计图:有两个及以上的折线;

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3、平均数的再认识:平均数能够代表一组数据的平均水平,任何一个数有变化,平均数也会相应发生变化。

——> 在实际比赛中,通常采取去掉一个最高分和一个最低分,然后再计算平均数的记分方法,因为有的评委打分太高或太低,去掉极值之后再求平均就更有代表性了

(五年级下册总复习)

数与代数

1、分数的加减法和乘除法;

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2、列方程解决问题;

图形与几何

1、长方体和正方体的顶点、面和棱;

2、长方体和正方体的平面展开图;

3、体积的常用单位(1cm³,1dm³,1m³);

4、容积的常用单位(1L,1mL);

5、用方向+角度的方式来表示地理位置(北偏东、北偏西、南偏东、南偏西);

统计与概率

复合条形统计图和复合折线统计图。

六年级上册数学教材要点

一 圆(圆的认识(圆心/半径/直径),半径与直径的关系,圆的轴对称性(其实也是中心对称),圆周率\pi和圆的周长πd/2πr,圆的面积πr²)

1、认识圆的要素:圆心、半径和直径;

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2、理解同一个圆中所有的半径都相等,直径长是半径的2倍,即 d = 2r;

3、学会使用圆规来画圆;

4、圆是轴对称图形,有无数条对称轴(每条直径都是对称轴);

5、圆周率 \pi

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6、圆的周长 C:C = \pid 或 C = 2\pir;

7、比较边长/直径相等的正方形和圆的周长(设边长为d,则此处正方形的周长 = 4d而圆的周长 = 3.14d,正方形的周长大于圆的周长);

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8、圆周率的历史:阿基米德(用圆的内接和外切正多边形来做近似),刘徽(割圆术),祖冲之(计算出\pi的值在3.1415926和3.1415927之间);

9、圆的面积:将圆切分成均等的扇形,重组成平行四边形,可以用平行四边形的面积算出圆的面积:

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10、其他推导圆的面积的方法:

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11、圆的面积比圆外的正方形面积小,比圆内的正方形面积大。

二 分数混合运算(分数的混合运算(顺序与整数运算顺序相同),分数运算中“增加”与“减少”的计算,分数的运算律(与整数运算律相同),列方程解决分数问题)

1、分数的连乘:可以依次计算,也可以运用乘法结合律对方便约分的乘数进行约分,简化计算;

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2、以上两种计算方式的含义不同,如在下图中,已知排球有36个,足球的数量是排球的 \frac{2}{3} ,篮球的数量是足球的\frac{3}{4},如果计算顺序为(36 x \frac{2}{3})x \frac{3}{4},其含义为先求出足球的数量,再求出篮球的数量,但如果计算顺序为 36 x( \frac{2}{3} x \frac{3}{4}),则含义为先找出篮球相当于排球的几分之几,再直接用排球的数量来计算出篮球的数量;

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3、分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样;

4、分数运算中“增加”的计算有两种方法(如汽车的成交量第一天是50辆,第二天的成交量比第一天增加了1/5,求第二天的成交量):

方法一:先计算出第二天的增量,再与原量相加;

方法二:先计算出第二天的成交量一共是第一天的几分之几(这里是6/5),再直接用原量乘以分数;

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5、“减少”的计算同理也有两种计算方法,如班上一共有40人,其中女生占2/5,问男生有多少人;

方法一:男生人数 = 40 – 40 x 2/5 = 40 – 16 = 24(人)

方法二:男生人数 = 40 x(1-2/5)= 40 x 3/5 = 24(人)

6、分数的运算律与整数的运算律相同;

7、找出问题中的等量关系,列方程解决分数问题,如六年级有95人,比五年级的人数少1/6,问五年级有多少人,可以列方程如下:

设五年级的人数为 x

x x (1 – 1/6) = 95

x x 5/6 = 95

x = 95 ÷ 5/6

x = 95 x 6/5

x =114 (人)

8、用方程来解决古籍中的趣味数学题,教材上没有给出答案,我解了一下作为参考:(为了写得快点,用x来代替 x

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设共有x个和尚,则

x/3 + x/4 = 364

(通分)7x/12 = 364

7x = 364 x 12 = 4368

x = 4368/7 = 624

验算:

624/3=208

624/4=156

208+156=364 (correct)

三 观察物体(复习立体图形的三面视图,观察的范围,物体的影子,物体相对位置关系的变化)

1、复习立体图形的三面视图(俯视图/上面,正视图/正面,左视图/左面);

2、观察的范围:在不同的位置,能够观察到的范围是不同的,如下图,客车在位置①时可以看到B,但到了位置②的时候,就看不到B了(因为视线是直线,不能拐弯);

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3、物体的影子:与光源的位置及物体离光源的距离有关,如在下图中,同样高的杆子离路灯越近,它的影子就越短,离路灯越远,它的影子就越长;

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4、物体相对位置关系的变化:在不同位置看多个物体,物体之间的位置关系是变化的,如下面的图形,游船从A点出发,在不同的位置看到的三个建筑物的相对位置关系不同;

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四 百分数(认识百分数,计算百分数的两种方法,小数、分数与百分数的相互转化,整数与百分数的乘法,列方程解决百分数问题)

1、百分数的概念:

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其中“%”是百分号,84%读作“百分之八十四”;

2、计算合格率的两种方法:先计算出分数结果,然后转化为百分数;或者先计算出小数结果,再转化为百分数;

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3-1、小数化为百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号,如:

0.25 = 25%

——> 如果小数位不止两位,该怎么化为分数呢?方法是原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分,如:

0.248

= 248/1000(0.248有三位小数,在1的后面写三个零作分母(1000),把原来的小数去掉小数点做分子(248))

= 31/125(约分)

如果只需要化为千分数,则方法跟化为百分数类似,把小数点向右移动三位,同时在后面添上千分号即可,如:

0.248 = 248‰

0.25 = 250‰ (添0)

3-2、百分数转化为小数:过程与上述正好相反,把小数点向左移动两位(等同于用该数值除以100的计算过程),同时去掉百分号,如:

25% = 0.25

2.5% = 0.025

0.25% = 0.0025

4-1、分数化为百分数的两种方法:

方法一:用分子除以分母,化成小数后,再用上面的方法化成百分数,如:

1/4 = 0.25 = 25%

方法二:分子和分母同时乘一个数,使分母是100,再把分母变成百分号,如:

1/4 = 25/100 = 25%

4-2、百分数化为分数:将百分号作为值为100的分母,数字部分作为分子,然后进行约分,如:

25% = 25/100 = 1/4

5、整数与百分数的乘法:将百分数化为分数或小数进行计算即可;

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6、列方程解决百分数问题:依然是先找到等量关系,然后列方程,如:

买食品花了500元,占总支出的40%,问总支出是多少元?

设总支出 = x ,则

40% x = 500

x = 500/40%

x =1250(元)

整理与复习

1、分数的混合运算:

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2、认识百分数,理解小数、分数与百分数之间的相互转化;

3、认识圆:

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五 数据处理(扇形统计图,统计图表的选择(条形图/折线图/扇形图))

1、扇形统计图:用整个圆来表示总量,用每个扇形的占比表示对应的分量;

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2、不同的统计图表各有优势,在实际应用的时候应当根据实际需求选择最恰当的图表。

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六 比的认识(“比”的概念和要素(前项/比号/后项/比值),求比值,比的基本性质,比的化简和相等的比,用方程解决比的问题,黄金分割)

1、“比”的概念:两个数相除,又叫作这两个数的比;一个完整的比包括前项、比号和后项,前项除以后项的值叫做比值;

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2、生活中的比:饮料中果汁与水的体积比、树高和影长的长度比、书本的长宽比、腿长与身高的比等;

3、比的基本性质与分数的基本性质相同:前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值的大小不变;

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——> 比号相当于除号

4、因为比的基本性质与分数相同,那么分数可以约分,比也可以化简,例如3:12与4:16这两个比,经过化简后都等于1:4,二者是相等的比;下面是另外几个化简的例子:

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5、用方程解决比的问题:如共有140个橘子,1班和2班按照3:2的比来分,各班分了多少个橘子?这个问题可以列方程如下:

设每份橘子是x个,那么1班分了3x个,2班分了2x个,

3x + 2x = 140

5x = 140

x = 28

1班分了:3x = 28 x 3 = 84(个)

2班分了:2x = 28 x 2 = 56(个)

6、黄金分割:

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数学好玩(反弹高度的测量和研究,学会解读图表中的信息,计算多人间的比赛场次,简单等比数列)

1、反弹高度:

1)设计实验来测量不同的球从同一高度自由落下,各自的反弹高度是多少;

2)填写实验报告单:内容包含实验目的、实验分工、实验过程和实验结论;

3)提出并研究问题:球落下的高度和反弹的高度有什么关系,还有哪些因素会影响反弹高度;

2、看图找关系(从图表中解读信息):如汽车的行驶速度变化折线图,足球比赛场内音量变化折线图等;

3、计算多人间的比赛场次:先通过枚举找到规律,然后进行归纳;

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4、简单等比数列的引入:下面这道题中,当时间每增加一分钟,通知到的同学数量都是前一项的数量乘2,形成一个等比数列2,4,8,16……

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问如果有126名同学,需要多长时间通知完?教材上没有给出答案,我解答一下作为参考:

2+4+8+16+32+64 = 126(人),观察可知需要的分钟数即为该等比数列的项数,所以一共需要6分钟通知完。

七 百分数的应用(两种方式理解两个量的百分数关系(增加/减少),用线段图来表示两个量的百分数关系,“几成”的概念,用方程解决百分数的问题,恩格尔系数,利率和利息)

1、两个量的百分数关系:如45cm²的水结成冰以后体积变成50cm²,问冰的体积比原来水的体积增加了百分之几?

可以用下面两种方式进行计算:

方法一:先算冰的体积比水的体积增加了多少,再用增量除以原量;

方法二:先算冰的体积是原来水的体积的百分之几,再用这个百分数减去100%(将原量视为1份,即100%份);

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2、同理可以计算出水的体积比冰的体积少了百分之几:

方法一:(50 – 45)/ 50 = 10%

方法二:100% – 45/50 = 100% =90% = 10%

——> 注意孩子在这里常犯的错误是认为既然冰的体积比水的体积增加了11.1%,那么水的体积也比冰的体积少了11.1%,这是错误的,因为虽然增减量的绝对值(5cm²)没有变,但分母发生了变化,一个是45,一个是50;

分母的变化是因为比较的对象发生了变化导致的,在上一道题中,是用冰跟水比(“冰的体积比原来水的体积增加了百分之几”),比较的对象是水,所以分母是水的体积45cm²;

而在下一道题中,是用水跟冰比,比较的对象是冰(“水的体积比冰的体积少了百分之几”),所以分母是冰的体积50cm²;

——> 一个小技巧是,谁出现在后面,谁就当分母

3、已知一个量和两个量的百分数关系,计算另一个量:如列车原来的速度是180千米/小时,现在的速度比原来提高了50%,问现在的速度是多少?也可以用两种方法来计算:

方法一:先求出速度增加了多少,然后在原来速度的基础上加上增量:

180 x 50% = 90(km)

180 + 90 = 270(km)

方法二:先求出现在的速度是原来的百分之几,然后用原来的速度乘这个百分数;

180 x (1+50%)

=180 x 1.5

= 270(km)

4、学会用线段图表示两个量之间的百分数关系,如小麦烘干前后的质量关系可以用下面的线段图来表示:

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上面第3点里关于列车速度的题目,也可以画线段图如下:

图片[257]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

5、几成的概念:几成就是十分之几,一成就是1/10,也就是10%,二成就是2/10,也就是20%;

6、结合线段图,用方程解决百分数的问题,如:食品支出占家庭总支出的55%,其他支出总额占家庭总支出的45%,食品支出比其他支出多620元,问家庭总支出是多少元?这个问题可以先画出线段图:

图片[258]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

然后列方程如下:

设总支出为x,则,

55%x – 45%x = 620

10%x = 620

x = 6200(元)

7、恩格尔系数(%):= 食品支出总额/家庭消费支出总额 x 100%,国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的情况;(>60%为贫穷,50%~60%为温饱,40%~50%为小康,30%~40%为相对富裕,20%~30%为富裕,20%以下为极其富裕)

8、利率的概念:指一年利息占本金的百分之几;

9、利息的计算:利息 = 本金 x 利率 x 时间,

假设一年期存款的年利率为2.25%,那么300元存一年的利息为:

300 x 2.25% x 1 = 6.75(元)

假设三年前存款的年利率为3.33%,那么300元存三年的利息为:

300 x 3.33% x 3 = 29.97(元)

(六年级上册总复习)

数与代数

1、百分数与分数的异同;

2、比的概念,分数、除法和比之间的关系;

3、小数、分数与百分数的相互转化;

4、分数的四则混合运算;

5、画图表示数量关系;

图形与几何

1、圆的认识:圆心、半径/直径;圆的周长和面积;

2、立体图形的三面视图(正面,上面,左面);

3、观察的范围变化;

统计与概率

1、统计图的类型和特点(条形图/折线图/扇形图);

2、如何阅读统计图表:名称,横轴,纵轴等;

3、如何阅读数据:最大值,最小值,平均值。

六年级下册数学教材要点

一 圆柱与圆锥(认识圆柱和圆锥,圆柱和圆锥的特点/展开图,圆柱的表面积,圆柱和圆锥的体积)

1、“点动成线,线动成面,面动成体”;

图片[259]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

2、认识圆柱(底面/侧面/高)和圆锥(顶点/底面/侧面/高);

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3、圆柱的特点:两个底面是大小一样的圆,侧面是曲面,侧面展开后是一个长方形;

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4、圆锥的特点:底面是一个圆,侧面是一个曲面,侧面展开是一个扇形;

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5、圆柱的表面积:根据上面的展开图可以得知,圆柱的表面积 = 侧面积 (长方形)+ 底面积 x 2,其中侧面积 = 底面周长 x 高,即S(侧) = Ch;——> 这也是常见的计算物体表面积的方法,即拆分法

图片[263]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

6、圆柱的体积 = 底面积 x 高,即 V = Sh;

7、圆锥的体积:用倒沙子的方式可以观察到,圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍,即 V = 1/3 x πr² x h。

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二 比例(比例的概念,內项的积与外项的积的关系(相等),比例尺,线段比例尺,两种方法根据比例尺计算实际距离,精密零件图纸的比例尺,图形的放大与缩小)

1、比例的概念:表示两个比相等的式子叫做比例,其中内侧靠近等号的两个项叫做內项,外侧的两个项叫做外项;

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2、在比例里,两个內项的积等于两个外项的积,如12:6 = 8:4,则12 x 4 = 6 x 8,6:4 = 3:2,则6 x 2 = 4 x 3;

3、用内外项积的关系来解决应用问题,如4个玩具汽车能换10本小人书,问14个玩具汽车能换几本小人书?假设14个玩具汽车能换x本小人书,可以列比例方程如下:

4:10 = 14:x

4x = 140 (內项的积等于外项的积)

x = 35(本)

——> 转换为分数形式也是适用的,如 \frac{4}{10} = \frac{14}{x},则4x = 140,即等号两侧的分子、分母交叉相乘的积相等;

——> 也可以先算出14是4的几倍,然后再乘10,即14/4 x 10 = 3.5 x 10 = 35(本);

4、内外项积的关系同样适用于分数比例,如 1/6 :1/4 = x :1/12,则1/4x = 1/6 * 1/12;

5、比例尺的概念:图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺;(常用于地图中)

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6、会看地图上的线段比例尺:

图片[267]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

7、根据地图上的比例尺计算实际距离:如地图的比例尺为1:34000000,量得两地距离为3cm,则实际距离应当为:

方法一:先根据比例计算出1cm相当于340km,然后算出实际距离为340 x 3 = 1020(km);

方法二:直接用比例方程,设实际距离为x千米,则:

3: (x * 100000) = 1:34000000(将千米转换为厘米)

3: x = 1:340

x = 3 x 340 (内外项积相等)

x = 1020(km)

8、精密零件图纸的比例尺:一般都写成后项是1的比;

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9、图形的放大与缩小:图形按比放大或缩小时,要使放大前后图形对应线段长的比相等,如要按4:1的比放大一个长方形,则长和宽要同时放大到4倍,其他图形同理。

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三 图形的运动(顺时针方向和逆时针方向,图形的顺时针和逆时针旋转,平移与旋转的结合,轴对称、旋转和平移的综合应用)

1、顺时针和逆时针方向:时针、分针旋转的方向就是顺时针方向,相反的就是逆时针方向;

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2、图形的顺时针和逆时针旋转,可以先找到其中一条线段旋转后的位置,然后将其他线段补齐,如将下面的小旗绕点M顺时针旋转90度,可以先找到旗杆旋转后的位置:

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3、图形的平移与旋转的结合,如先将图形A绕点O顺时针旋转90度,得到图形B,再将图形B向右平移5格,得到图形C;

4、轴对称、旋转和平移在图形设计中的综合应用:

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四 正比例与反比例(正比例的概念,正比例图象,反比例的概念,反比例图象)

1、正比例的概念:指两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化, 如果这两种量中相对应的两个数比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。用公式表达就是 y/x=k(一定)(k≠ 0)。以汽车行驶为例:

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图片[275]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

——> 另一个正比例的例子是正方形的周长与边长的比:当正方形的边长变化时,周长也随着变化,且周长与边长的比值始终为4不变;

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2、用正比例的数对来作图:以人数和电影票费的正比例数对为例作图,连接图上各点,可以发现所有点都在同一条直线上;

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3、反比例的概念:指两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,那么他们就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用公式表达就是 xy=k(一定)(k≠ 0)。还是以汽车行驶为例,同样行驶120公里,不同的交通工具速度和行驶时间之间就形成反比例关系:

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4、与正比例关系不同,反比例关系的图象是一条曲线,以面积为24cm²的长方形为例,其相邻两边长的变化关系为反比例关系,可以用下图表示:

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数学好玩(绘制校园平面图,莫比乌斯带,图形的缩放)

1、绘制校园平面图:

1)测量和收集数据;

2)确定绘图比例尺;

3)根据比例尺计算并绘图;

2、莫比乌斯带(也叫莫比乌斯环):是一种只有一个表面和一条边界的曲面(也是一种重要的拓扑学结构),“里面”和“外面”是连接在一起的;

图片[282]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

刚好上个月去参观科学中心的数学具象实验室,看到了莫比乌斯环,以及与之齐名的“克莱因瓶”:

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图片[284]-小学数学的体系是怎样的?-五车资料库

3、图形的缩放:通过调整数对中第一个数或第二个数(即对横坐标或纵坐标进行放大或缩小),让图形放大或缩小。

整理与复习

1、圆柱与圆锥:

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2、正比例与反比例,比例与比例尺:

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3、图形的运动。

(六年级下册总复习)—— 对整个小学阶段数学要点的总结

数与代数

1、小学阶段学过的数:

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2、比较两个多位数的大小;

3、倍数和因数;公倍数与公因数;最小公倍数和最大公因数;

4、质数与合数;

5、倒数;

6、数的估算(四舍五入);

7、小数、分数、百分数之间的关系;

8、整数和小数相邻计数单位间的进率;

9、分数与除法之间的关系;

10、商不变的规律与分数基本性质的关系;

数的运算

1、加减法和乘除法;

2、逆运算;

3、四则混合运算;

4、倍数运算;

5、整数、小数和分数加减法的共同点;

6、小数乘除法与整数乘除法的共同点;

7、百分数的计算;

8、画图分析数量关系;

9、数的估算;

10、运算律;

11、整数运算的运算律在小数、分数运算中的应用;

式与方程

1、用字母表示数;

2、找等量关系并列出方程;

正比例与反比例

1、比、比例和比例尺;

2、比、分数、除法之间的联系;

3、正比例和反比例;

常见的量:质量、时间、人民币等;

探索规律:数列规律,周期,图形规律;

图形与几何

1、图形的认识;

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2、立体图形与平面图形之间的联系(如正方体从正面看是一个正方形,圆锥的一个截面是三角形,圆柱的侧面展开是一个长方形等);

3、垂直与平行;垂线;

4、锐角、直角、钝角、平角和周角;

5、立体图形的三面视图;

6、立体图形的展开图;

7、观察的范围;

图形与测量

1、长度、面积和体积(容积);

2、长度、面积和体积(容积)的单位和进率:

长度:1m,1dm,1cm;

面积:1m²,1dm²,1cm²;

体积(容积):1m³,1L,1mL;

3、图形的周长和面积;

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4、圆的面积(πr²);

5、立体图形的体积和表面积;

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图形的运动

1、轴对称图形;

2、图形的平移和旋转;

3、顺时针和逆时针;

图形与位置

1、东、南、西、北方向;

2、北偏东、北偏西、南偏东、南偏西;

3、纬度和经度;

统计与概率

统计

1、开展调查,收集数据;

2、记录和整理数据;

3、制作统计图(条形图,折线图,扇形图);

4、总数、平均数、最大值和最小值;

5、正比例和反比例;

可能性

1、摸球游戏(摸出哪种颜色球的可能性大);

2、抛硬币游戏;

解决问题的策略

1、常见的解决问题的策略:

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2、推理。

【后记】花了两个多月时间,4万7千多字,把小学六个年级的12本数学教材从头到尾捋了一遍,终于做到了心中有数,可以更好地辅导自家孩子了,此文至此完结。希望对其他有需要的父母和孩子也有所帮助!

接下来我要花大概一两个月时间搭建今年的投资框架,再花大概一两个月时间完成一项已经拖了1年的任务,这些都做完之后,会回来继续更新初中数学的体系。

这么一算,2022年已经半年没了……时间太不禁花了啊!恨不得一天掰成两天用。

就这样,继续努力吧。

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THE END
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