博士整理的小学数学知识目录,抓住重点,用对方法,小学数学其实很好学

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前言

我整理的优博数学:小学数学经典七大知识体系,系统掌握这些,小升初考试不用愁,很多家长反馈说挺有用的,并向我要了高清原图,很多家长表示,这个七大体系的典型题总结的不错,按照这个框架梳理一遍,孩子小学数学学习中,哪些题型是没做过的,哪些题型是做的不好的一目了然。

但也有一些家长反映,这个七大知识体系虽然很全,好像里面有一些类型题并不是课本知识,属于奥数培优内容。自己家孩子水平能力都很普通,现在又双减了,也不想把孩子培养去参加奥数竞赛,就想要一份只是针对校内知识的总结图表。

其实,很多同学的基础都不算扎实,盲目的攀高并不利于他们提升数学成绩,反倒是会对未来数学学习造成一定的隐患,所以,我最近结合课本,把小学数学各个年级的知识点梳理了一遍,做了一系列思维导图,以知识图谱的形式,把小学六个年级所有的知识点都整理了一遍。

这个知识图谱和七大知识体系不一样,不是典型题型的罗列,而是知识点的总结,因此,需要家长根据孩子目前学习的情况认真对照,仔细检查,做好查漏补缺工作,掌握孩子的学习状况。

一年级

知识目录

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学习重点

一年级的学习重点就是认识数,会计算简单的加法和减法。对于很多孩子来说,可能一年级的内容感觉比较简单,一些孩子在幼儿园的时候就学会了数数,也掌握了简单的加法和减法,所以,总体上来说,一年级的内容没有太大的挑战性。

要说学习内容的难点,我认为是退位减法,这个问题实际上困扰了相当多的孩子,即使上了四年级,仍然有一些孩子在计算退位减法时,做的依然很慢,而且错误率很高,不过现实中好像很多家长都把注意力集中在孩子的乘法学习上,实际上乘法的错误率要远远低于退位减法,因为乘法是背下来的,这个我们在二年级部分会有说明。

学习方法

一年级的学习应当以引导和规范为主,平时带孩子逛超市时,让孩子记下商品的价格,和孩子一起做一下简单的加减法,潜移默化中训练孩子的计算能力。

每天做一篇口算题卡,注意一定要计时,还要检查正确率,有心的家长还会总结孩子在哪些地方会经常出错,并有针对性的进行补充练习,不过这样的家长凤毛麟角。

市面上有一些口算题卡,题目设置的还不错,问题是无法寻找找到孩子计算的薄弱环节,并无法给出针对性的补充练习,我正在琢磨做这么一款产品,给我一点儿时间,做出来会跟大家介绍的。

二年级

知识目录

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学习重点

二年级数学的学习重点是计算,具体的说就是乘法和除法的计算

虽然二年级还涉及到一些100以内加法的计算,这些内容同样重要,但二年级数学的重点依然是乘法和除法。

对于二年级学生来说,一定要把九九乘法表背的滚瓜烂熟,不是仅仅会正着背,而是对任何一个九九乘法表内的数字,它的来源要非常的清楚。比如我说28,那么学生要立刻想到四七二十八,我说末位是3,那学生要立刻想到七九六十三。

很多家长和学生眼中的九九乘法表是这样的:

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其实,在一些学霸的眼里,它是这样的:

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甚至是这样的:

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学习方法

乘法其实比较好学,背就行了,关键是如何去背,很多同学就是按照九九乘法表的次序背,这样做确实背下来了,但做题的时候不太管用,遇到竖式算式谜问题,基本上就缴枪了,所以我总结了背九九乘法表的方法想给三年级的孩子背大九九乘法口诀,以提高他的运算速度,这样做有没有用?,不仅要按照次序背,还要对其中一些特殊数字重点关注,对学有余力的孩子,家长也可以引导他们去背一下大九九乘法表,这个量看起来有点儿大,但其实把常见的一些数字去掉后,背诵的量也比较有限,大九九乘法表不需要在二年级就背下来,只是引导孩子去掌握,在做题的过程中慢慢去背,小学毕业前能把大九九背下来就已经非常不错了。

真正的难点在于除法,本质上除法是乘法的逆运算,乘法熟练了除法就好办了,但实际上,很多孩子乘法不熟练,这又回到刚才的问题,学生会正着背乘法表,但反过来,比如28是谁乘以谁得出来的他就摸不到头脑了,问题不是四七二十八他不会,而是他对28是由谁乘出来的不熟悉,这个问题不解决,除法就很难有所突破。

方法其实很简单,就是多练,但要有针对性的练。

我给学生的要求是,每天一页口算题卡,每张题卡都要计时,都要看正确率,如果正确率很低,比如50题错了2题以上,那么多错的部分,错一题罚5题。坚持两个月以上的,计算能力都有很明显的提升。


对于一二年级的数学学习,我认为:

一是要兴趣引导。兴趣是最好的老师,对于初学数学的孩子来说,兴趣更是引他们入门的良师益友,家长可以引导孩子发现生活中的数学,并鼓励他们尝试解决一些生活中的小问题。

二是要夯实基础。计算是数学学习的基础,对于一二年级的孩子来说,其他的内容都没有计算重要,家长要训练孩子每日一练,一定量的训练才能保证计算能力过关,只有计算过关了,才能进一步学习更深刻的数学问题。

三是要规范习惯。低年级以规范学习习惯为主,习惯养成是小学生最重要的任务,我们常说要学会数学思维,如果没有好的学习习惯,数学思维都是空中楼阁。

对于普通的孩子来说(很多家长都认为自己的孩子不是普通的孩子,但实际上只有不到1%的孩子不普通,绝大多数孩子都是普娃),千万不要过早的学习较难的奥数知识,学习奥数本身没有错,了解一下,开拓一下视野都是可以的,但过早的接触较难的奥数题目,只会严重的打击孩子的自信心,这一点家长们切记!

三年级

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学习重点

三年级学习的内容明显增多,几乎每一项都要认真对待,否则后续的学习会很成问题。

一、计算

主要是大数的计算,包括大数的加减法,两位数乘以两位数,除数是一位数的除法等等。

二、图形

包括长方形和正方形的周长,面积基础知识,一定要区分开来周长和面积,还要重点注意单位(周长是米,面积是平方米)

三、倍数

倍数这个知识点不是很难,但到实际做题时,很多学生会搞反,就是明明我是你的4倍,结果孩子理解成你是我的4倍。由倍数关系会折腾出一系列让人头疼的应用题,比如和倍问题,差倍问题,和差倍问题,典型的就是年龄问题。

学习方法

计算问题的方法无他,就是多练。我发现很多孩子在做竖式算式谜问题时,找不到解题的突破口,原因竟然是他们并不知道各个位置上的数字是如何得来的,有的位置上的数是落位落下来的,有的则是两个乘数相乘得到的积,这就说明相当一部分孩子对两位数乘以两位数的算式规则掌握的不扎实,相当一部分家长一点儿也不重视计算,他们关注的点很多都在所谓是数学思维上,说实话,小学你不学奥数的话,根本就扯不到数学思维好吧。

图形问题的学习方法我觉得除了多看熟悉题型外,还要有等价的观念,比如做周长问题,我们就经常需要学生掌握平移的思想,把一段线段平移到另外一个地方去,线段的长度是不变的,图形周长当然不变,但通过平移,把原图形的周长计算等价的变成了新图形的周长计算,往往有一种柳暗花明的感觉。

倍数关系应用题是小学三年级的一个学习重点和学习难点,对这种题很多同学一筹莫展,实际上,解决和差倍问题的一个好方法就是画线段图,通过线段图把题目中的数量关系、逻辑关系全部梳理清楚,并且用线段的长度来表示数量的大小,通过图形把题目的逻辑关系展现出来,这个是三年级学生需要重点加强的一个解题技能。

画线段图的技巧是:先找到题目中最小的量,以此为最小线段,即一份,然后根据题目中的描述,依次把其他量用线段表示出来,然后再通过线段之间的长度关系,通过加减乘除分析解出最小一段,也就是一份所代表的数量,进而把其他的量全部求出来。

四年级

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学习重点

四年级学习的重点一个是图形问题,包括平行四边形,梯形,三角形,以及图形的对称等等,另一个就是小数和运算定律,也就还是计算问题,再有就是行程问题。

一、图形

四年级的图形问题虽然不怎么涉及面积求解,但由于涉及到很多种图形,每一种图形的特性都需要扎实掌握,这是为五年级学习多边形面积打好基础。这里我特别要强调一点就是,对平移,对称等知识,很多学生觉得简单,但做题的效果却不好。

二、小数计算

小数的计算和整数的计算,从本质上来看没有多少差别,但是由于小数点的介入,使得整个算式看起来复杂很多,这就需要学生对数位对齐这个要求一定要认真对待,否则小数计算的结果会五花八门的。

运算定律我本来是不太想讲的,但是从实际的教学经验来看,相当一部分学生这方面的内容掌握的并不好,这就直接导致后续甚至是初中数学学习的困难,小升初考试中,涉及到的一些计算往往是以巧算的形式出现的,而这些巧算方法基本上就是通过各种运算律,把算式中的数字进行重新组合,形成易于计算的形式。

三、行程问题

四年级介绍了路程,时间,速度之间的关系,正式引入了行程问题。课本上的行程问题并不是很难,但纵观整个小学数学,我认为行程问题是最难的最复杂的问题(如果考虑奥数竞赛,数论问题排第一,否则行程问题排第一),而且是小升初考试的必考题,任何一个地区的小升初试卷里都会出现行程问题,这类题必须要认真对待。

学习方法

图形问题的学习技巧我认为还是建立图感,对图形的敏感性要加强,具体怎么做?直白点儿说还是多看,见的多了就熟悉了。

但是对四年级的图形问题,虽然涉及到的计算并不是很多,但也有一些基础概念基本公式的运用,因此,就特别需要强调对概念的理解问题。

到了五六年级,我经常会发现很多同学在计算的时候公式使用错误,要么是公式写错,要么是在不恰当的地方用了不恰当的公式,总之,面积问题会出现各种意想不到的情况。追本溯源的话,还是对这些概念理解的不透彻,甚至是错误的。

对图形问题的求解,我有一个好的解题思路,那就是逆推,从问题出发,而不是从条件出发去思考。

很多类型的题目都是从给出的条件出发来解决问题,比如题目给出了小明的年龄,爸爸的年龄,那么我们应该从这两个年龄以及其他的一些条件来梳理几个量之间的关系。

但是图形问题的解法,我一般会告诉孩子,题目求什么是你解决问题的出发点,比如题目问OE等于多少?你观察一下图形,发现如果我能知道DE的长度,就可以求出OE的长度,这就是一个等价转换的过程。

孩子顺着这个思路会想到,如果我知道三角形ADE的面积就好了,因为我知道它的底,这样就可以顺着求出它的高DE,你看,这个问题就转换成求三角形ADE的面积了,这个时候我们再来看题目的条件,会发现利用题目给的条件,能够很轻松的求出三角形ADE的面积,这样,这道题就搞定了。

小数计算问题的技巧除了熟能生巧之外,数位对齐是很关键的,由于整数计算的影响,很多孩子会将最右侧一位对齐,实际上,小数加减法计算,需要对齐的数位是小数点,只有从这个位置上对上了,计算的结果才是正确的,这一点却往往被孩子们忽略。

到了四年级,很多家长开始忽视计算的重要性,这也很正常,因为孩子在应用题上出现了失分,一些应用题甚至家长也无法做出来,所以家长会让孩子将更多的精力用在解应用题上,很多家长也跟我说,要学习数学思维,加强孩子对数学题目的理解。

这种做法也不能说是错误的,但基础不牢地动山摇,计算是数学学习的基础,四年级虽然还是加减乘除,但参与运算的数字已经不是整数了,而是小数,看起来变化不大,但孩子如果不经过系统的训练,持续的训练,在这个环节出问题也是经常发生的事。

四年级的行程问题不会涉及分数比例关系,主要是梳理路程,速度和时间之间的关系,利用基本公式求解这类问题。在解题的过程中,我一般是要求学生画出线段图,因为线段图方法是有效解决行程问题非常适合的方法,线段图中的线段长度本身就可以表示为路程,根据题意将不同情况下的路程画出来,根据线段长度关系比照着,很容易就能列出算式,进而求解行程问题。


对于三四年级的数学学习,我认为:

在基础比较牢固的条件下,可以结合孩子的实际适当的做一些提升。也就是可以做一些思维数学方面的题目,拓展一下孩子的视野,看一看奥数培优类的题目,比如高思数学课本和高思数学竞赛导引,奥数教程(小蓝本),甚至学而思大通关(大白本)。

三四年级比较强调倍数的运用,但实际上这两年时间是孩子成长发育的一个很关键的时期,可以充分利用这段时间较为系统的学习一下奥数入门知识,适当的引导孩子举一反三。比如同样是平均数问题,如果做深入的学习,孩子将会掌握运用平均数知识解决六年级浓度问题的巧妙办法。

如果孩子的基础不牢固,切忌盲目学习奥数,老老实实回去做口算,把计算问题完全搞定,然后多培养孩子阅读,对文字的理解能力要上升一个维度,这样才能对基础的小学数学应用题有一个清晰的认识,这对他解决应用题有非常大的帮助,而不是到处报班学一些他掌握不了的东西,这些东西到了五年级他都会忘掉的。

五年级

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学习重点

相比前四年,五年级的内容要丰富得多,每个知识点都不能忽视,每个知识点背后的习题都有一定的难度,挑重点说的话,我认为要学好一下几点。

一,面积

面积问题是小升初常考题型,必须高度重视,而且初中数学以几何为主,虽然初中数学的几何是几何证明题,不是面积求解题,但学好面积,对熟悉图形,建立图形思维有非常大的影响。

二、分数

包括分数的加减法,以及由分数关系引发的各种应用题。分数的四则运算既是重点也是难点,小升初考试特别是择校考中的分数计算问题难度一般都不低。分数关系应用题的考察范围非常广,比例份数应用题经常出现在行程问题,工程问题,甚至经济问题中。

三、方程

在小学低年级,我一直强调不要提前学方程,不要用方程的方法求解应用题,但是到了五年级以后,学生要迅速转变思维,善于运用方程求解应用题,因为一方面面对小升初考试,方程求解方法简洁明了,什么行程问题,工程问题,鸡兔同笼,牛吃草,经济问题统统可以用方程法迅速搞定,另一方面,到了初中,如果不用方程而是用算术方法,很多题要么非常绕,要么根本弄不出来。

四、因数倍数

因数倍数属于初等数论的内容,校内考的不是很难,但在小升初的考试中,如果想把试卷的难题提升一下,因数倍数是一个“重灾区”,所以想在小升初考试中拿高分,或者想训练数学思维,因数倍数必须重视起来。

五、长方体和正方体

长方体和正方体是小升初常考的内容,这个一定要重视起来,这类问题包括表面积的求解,还有体积的求解,难度并不会很大,但是失分率挺高的。

学习方法

面积问题我在上文中有阐述,这里不再赘述。

分数的计算非常有赖于训练,同时,也需要对特殊数字足够敏感。五年级的分数加减法,很可能会出现分数裂项计算,这类题是小升初考试中的常客,我认为这种题的所谓解题技巧就是:做一遍

分数裂项的题目如果是第一次给孩子做,我这边的情况是,几乎没有孩子能做出来,但一旦他做过一遍后,这类题基本上就有思路了,多练习几遍,这类题就能完全搞定,原因也相当简单,就是这类题从分解来看是很巧妙的,所以孩子第一次做很可能没有思路,但这类题的一个特点是,数字来来回回就那么几个数,考试时的题目很可能就是孩子做过的原题,所以,见识题型非常重要。

分数类应用题的求解,我的观点是要么用线段图的方式,画出各个量之间的份数关系,通过题目给出的逻辑关系,再结合线段图给出的数量关系求解此类问题。

要么就结合方程,按照份数设x,比如A是B的4/5,不要设A为x,直接设A为4x,则B为5x,利用份数关系列出方程,求解方程并解决问题。

方程的学习非常有赖于学生的抽象能力,这个能力实际上在二年级的等量代换单元就进行了训练,三年级经常考的和差问题,本质上就是系数是1的二元一次方程组的求解,是一种最简单的方程形式,如果二年级的时候基础打的比较牢固,方程的求解是不存在问题的。

在方程求解中,书本上给出了各种情况的分类,比如去括号法求解方程,通分法或者去分母法求解方程,还有所谓交叉相乘的方法求解方程,这样的分类当然没有错,而且将问题进行类别划分,有助于简化问题。

但我在教学的过程中,比较喜欢逆向思维,从已知推未知,用这样的思想去思考如何去解方程,而不是死记硬背这么几种类型,如果有了对解决问题整体上方向上的思考路径的话,即使出现了一种全新的,学生没有见过的方程类型,他还是能够做到举一反三,自己把方程解出来。

因数和倍数问题,主要是求公因数和公倍数,核心是质因数分解,这个怎么分解有好几种办法,短除法,辗转相除法等等,本质上是整除和求余的内容,我在讲的时候当然也会按照书上的方法进行分类解答,但核心一定要让孩子明白,因数倍数问题是除法问题,要好好想一下自己在二年级下学期学习除法的时候,是怎么理解除法的(除法的本质是分配),为什么会出现同余的情况,只有让孩子明白了这些,这类题才能做得出,做得对。

长方体和正方体问题,除了把公式记熟之外,还要有“投影”的观念,很多题目求表面积,看起来很复杂,如果能通过三视图的观察,直接把某一个方向上的表面积之和变成一个整体图形的面积求解,问题就迎刃而解了。

六年级

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学习重点

一、分数计算

六年级引入了分数的乘除法,从算式来看,分数乘除法是要比分数加减法简单的,但实际出的题目会难倒一部分学生。

二、比例应用题

这实际上包括了好几种类型的题目,比如基于分数的倍数(份数)应用题,比例关系应用题,以及百分数应用题等等。从形式上来看,这类题可以表现为工程问题,也可以表现为浓度问题经济问题,甚至是行程问题,而这几种问题都是小升初考试的常客,且难度不低。

三、圆、圆柱和圆锥

六年级涉及到了很多图形方面的知识,这是给初中做好铺垫,毕竟初中数学的难点就是几何。

圆的面积是考察的重点,但考试时往往不会简单的考圆的面积,而是几个图形组合形成的复杂图形,里面有圆(有时仅仅是有圆的雏形),需要孩子们认真思考才能解决。

圆柱和圆锥考侧面展开图会比较多,要清楚这两个图形的侧面展开图是什么样的,是怎么展开的,头脑中要有相应的图像。

另外,容积问题不容小觑,它往往和圆柱的体积问题结合在一起考察,在一些地方的小升初考试中,经常出现这类复杂的体积求解问题。

学习方法

分数计算是小学数学计算的一个难点,我的建议是买几套当地历届小升初考题,把上面的计算部分好好做一遍,毕竟这类题特点也很鲜明,做过的就会做,没见过的考试的时候现场做其实是很难搞定的。

对于比例应用题,我是强烈建议用方程来求解的。实际上这类题有很多巧妙的方法,也有很多锻炼数学思维的思考方式,但是,对于一个六年级的小学生,先把题目做出来,在小升初考试中得到必要的分数是最重要的,所以,我一直要求学生能用方程就用方程,因为方程求解这类题简直就是量身定做的。

对小学数学题来说,一般的,问什么设什么,基本上都能搞定,在设未知数时,要设最小的那个量为x,而不要设别的量为x,因为这样很容易搞出来一些分数,算式也不好列,计算也容易出错。

有的老师喜欢教孩子用十字交叉的方法解浓度问题,客观的说,一些题目这样做会做的非常快,但这对学生理解浓度问题的解法是有一定的要求的,我还是建议学生用方程求解浓度问题,虽然每道题做的都不是那么的简单明快,但好在思路清晰,总是能在不花费太多时间的情况下把题做出来,这样就行了。

至于圆、圆柱和圆锥问题,对这种几何问题一定要用“等价”的思想,把图形做一个转换,比如圆柱体容器内插入一个铁棍,水位上升了多少,这种题就需要充分理解铁棍的体积其实就是挤压上升的水的体积,通过等量代换的方式,搞定这种复杂问题。


对于五六年级的数学学习,我认为:

如果不是那1%的学生,大家还是回归校内回归课本,先把小升初考试应付下来再说,不要去追求那些过偏过难的题目,把校内基础学扎实,学有余力的话,可以适当的提前学一点儿初中数学,也算是为初中数学打一个基础。

如果有择校考和分班考需求的话,建议做一下你所在地区历年真题,特别是分班考真题,因为毕业考试试卷一般来说都很简单,参考价值并不大,如果本地的真题不好找,我推荐做一下四川省、湖南省或者陕西省的套卷,有一定的难度,但还不至于到奥数竞赛的水平,其他省的题目有点儿简单了。


我是优博数学,中科院理学博士,关注我带给你更多学习方法和解题思路方面的干货内容。

优博数学:小学数学经典七大知识体系,系统掌握这些,小升初考试不用愁

怎样学好小学数学?

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